Численные методы-2019
| Лекции: | Дмитрий Левков |
| Семинары: | Александр Иванов |
Аннотация
В настоящее время решение большинства задач теоретической физики частиц, астрофизики и космологии требует выполнения численного моделирования. В лекционном курсе содержатся базовые сведения о принципах численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач, методах минимизации и стохастических методах.Будут кратко рассмотрены алгоритмы параллельных вычислений и вопросы хранения больших объемов данных.
План курса
- Введение
- численные методы и их применение в физике;
- доступные инструменты: языки, среды, математические библиотеки;
- представление чисел с плавающей точкой: ошибки округления, точность вычисления производных.
- Решение нестационарного уравнения Шредингера
- формулировка задачи в безразмерных терминах;
- дискретизация, граничные условия;
- анализ стабильности численной эволюции, метод Эйлера;
- дискретное преобразование Фурье и быстрые методы;
- алгоритм FFT;
- достоинства и недостатки быстрых методов.
- Нахождение профиля солитонного решения
- сведение к одномерной граничной задаче в безразмерных величинах;
- дискретизация, метод матричной прогонки;
- метод пристрелки: сведение к задаче Коши;
- экстраполяция Ричардсона и методы бесконечного порядка для систем ОДУ;
- достоинства и недостатки метода пристрелки.
- Задача о нахождении уровней энергии с большой точностью
- программа Resurgence;
- числа произвольной точности;
- алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера;
- точность округления.
- Поле гравитирующих тел
- граничная задача для уравнений в частных производных;
- метод дискретного преобразования Фурье, его недостатки;
- методы релаксации: методы Якоби и Гаусса-Сейделя;
- релаксация как расщепление операторов;
- скорость сходимости методов релаксации;
- SOR и его скорость сходимости;
- многосеточный метод;
- полный многосеточный метод;
- решение нелинейных уравнений с помощью многосеточного метода.
- Задача о столкновении солитонов
- постановка задачи Коши;
- явные и неявные методы: быстродействие и анализ стабильности;
- итеративный метод Крэнка-Николсона;
- симплектические методы высокого порядка.
Литература
- W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vettering, B.P. Flannery, «Numerical recipes. The art of scientific computing» Cambridge university press, 2007.
- E.L. Lehmann, J.P. Romano, «Testing Statistical Hypotheses» Springer, 2005.
- A. Mushtaq et al., «Very high-precision solutions of a class of Schrodinger type equations», Computer Physics Communications 182 (2011) 1810.
- J. Stoer, R. Bulirch, «Introduction to Numerical Analysis», Springer-Verlag, 1991.
- P. Wesseling, «An Introduction to Multigrid Methods», Wiley, 1991.
- H. Yoshida, «Construction of higher order symplectic integrators», Phys. Lett. A 150, 262 (1990).
