Численные методы (8 семестр)
| Лекции: Григорий Рубцов |
Рассматриваются алгоритмы и подходы к численному решению задач, возникающих в физике частиц и космологии.
План курса
Часть I. Численные методы (8 семестр)- Введение
- численные методы и их применение в физике
- доступные инструменты: языки, среды, математические библиотеки
- возможности современных вычислительных машин
- представление чисел с плавающей точкой; ошибки округления
- алгоритмы: сложность, точность, устойчивость
- Методы решения задач линейной алгебры
- решение систем линейных уравнений, нахождение обратной матрицы
- метод Гаусса-Жордана; UL-разложение; сингулярное разложение
- трехдиагональные матрицы; метод прогонки, его связь с UL-разложением
- ленточные метрицы
- Интерполяция и приближение
- интерполяциия полиномами; интерполяция сплайнами
- приближение методом наименьших квадратов; метод наибольшего правдоподобия
- Методы оптимизации
- симплекс-метод
- метод сопряженных градиентов
- Численное дифференцирование
- точность вычисления производной
- частные производные; лаплассиан
- понятие разностной схемы
- Генерация случайных чисел
- методы генерации случайных чисел
- тестирование генератора
- хэш-функции и их применения
- генерация случайной величины с заданным распределением
- Статистический анализ данных
- проверка гипотез; уровень достоверности
- критерий Колмогорова-Смирнова; критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
- проверка неточно сформулированной гипотезы, штрафные множители
- Обработка больших объемов данных
- форматы хранения больших объемов данных: бинарные форматы, реляционные и нереляционные базы данных
- построение индексов; хэш-индексы, древесные индексы
- алгоритмы потоковой обработки данных
- Быстрое преобразование Фурье (FFT)
- одномерное и многомерное FFT
- вычисление корреляционных функций, спектральный анализ данных
- фильтры
- Численное интегрирование
- элементарные методы (трапеций, Симпсона, Ньютона-Котеса)
- экстраполяция Ричардсона
- несобственные интегралы; интегрирование быстро осциллирующих функций
- квадратуры Гаусса; метод Монте-Карло
- методы многомерного интегрирования
- алгоритм Метрополиса
- Алгоритмы параллельных вычислений
- аппаратные среды: суперкомпьютер с общей памятью, кластер, грид, облако
- программные средства: MPI, openmp, LHC-grid, собственный протокол
- степень параллелизма алгоритмов различного типа
- распределенное хранение данных
- Дифференциальные уравнения
- задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; метод Рунге-Кутта, неявные методы
- методы решения одномерной краевой задачи; метод стрельбы
- уравнения в частных производных; дискретизация и сведение краевой задачи к задаче оптимизации; минимизация действия
- Дискретизация бозонных теорий
- Теория поля при конечной температуре. Евклидов функциональный интеграл
- Дискретизация скалярной теории
- Калибровочно-инвариантная дискретизация теории Янга-Миллса. Интегрирование по группе.
- Фермионы на решетке
- Вильсоновские фермионы
- Нарушение киральности. Проблема размножения фермионных состояний
- Нелокальная дискретизация с сохранением киральности
- Конфайнмент в теориях с сильной связью
- Критерии конфайнмента
- Переходы "конфайнмент-деконфайнмент". Параметры порядка. Линия Вильсона и петля Полякова
- Предел сильной связи
- Непрерывный предел
- Перенормировка
- Ренормгруппа Вильсона
- W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vettering, B.P. Flannery, «Numerical recipes. The art of scientific computing» Cambridge university press, 2007.
- М. Кройц. «Кварки, глюоны и решетки.» М. Мир, 1987.
