Интегрируемые системы

План курса

I семестр. Классическая теория интегрируемых систем.

1. Открытие солитона, история предмета
2. Уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ). Односолитонное решение. Пара Лакса. Интегрируемость уравнения КдФ.
3. Псевдодифференциальные операторы. Иерархия КдФ.
4. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). Иерархия КП.
5. Тау-функция для иерархий КдФ и КП.
6. Уравнения Хироты. Многосолитонные решения уравнения КдФ.
7. Вершинные операторы. Билинейные тождества.
Фермионное представление вершинных операторов. 8. Нелинейное уравнение Шредингера и его интегрируемость.
9. Уравнение синус-Гордон и его интегрируемость. Солитоны и бризеры.
10. Массивное уравнение Тирринга и его интегрируемость.
11. Корневые системы алгебр Ли и интегрируемые модели. Обобщенные цепочки Тоды и обобщенные модели Калоджеро-Мозера-Сазерленда.

II Семестр. Квантовая теория интегрируемых систем.

1. Факторизованное рассеяние и уравнение Янга-Бакстера. Алгебры Замолодчикова-Фаддеева.
2. Решения уравнений Янга-Бакстера, примеры $S$-матриц для факторизованного рассеяния.
3. Элементы теории квантовых групп. Алгебры Хопфа. Квантовый дубль. Универсальная $R$-матрица. Янгианы.
4. Квантовые цепочки Гайзенберга. Модели XXX, XXY, XYZ.
5. Квантовый метод обратной задачи (КМОЗ). Применение КМОЗ для цепочек Гайзенберга. Алгебраический анзац Бетте.
6. Уравнения анзаца Бетте. Термодинамический предел.
7. Применение КМОЗ для квантовой модели синус-Гордон и для квантовой модели Тирринга. $S$-дуальность между этими моделями.
8. Элементы двумерных конформных теорий поля. Алгебра Вирассоро и алгебры Каца-Муди.