• •EN

• Расписание
• Спецкурсы
• Концепция
• Классические поля
• Классические решения КТП
• Теория групп
• Доп. группы
• Задачи
• Мат. задачи
• Космология
• КТП
• КТП III
• Методы КТП
• Инфляция
• ОТО
• Фундаментальные взаимодействия
• Численные методы
• Континуальный интеграл
• Суперсимметрия
• Феноменология
• Задачи по Стандартной Модели
• CFT и струны
• Главы космологии
• Литература
• Структуры
• Межфакультет
• Межфакультет (2023)
• Астрофизика
• Астрофизика ч-ц
• Астрофизика ВЭ
• Стандартная модель
• Обработка
• Тёмная материя
• Внешние поля
• Интегрируемые системы
• Нейронные сети

Теория групп (6-7 семестры)

1. Группы (определения и примеры). Понятие симметрии. Определение группы, подгруппы, смежные классы, фактор- пространство, инвариантные подгруппы, фактор- группа, центр, прямое произведение групп, и т.д.
2. Матричные группы ($GL(n)$, $SL(n)$, $U(n,m)$, $SU(n,m)$, $O(n,m)$, $SO(n,m)$, $Sp(2n)$, $Usp(2n)$, и т.д.). Отображения групп (гомоморфизм, изоморфизм, Ker, Im, точные последовательности).
3. Многообразия. Группы Ли (ГЛ) и алгебры Ли (АЛ) (общая теория и примеры). АЛ матричных групп. Комплексные и вещественные АЛ. Вещественные формы ГЛ. Компактные ГЛ и АЛ. Простые и полупростые АЛ. Универсальные накрывающие ГЛ. Суммирование и интегрирование на группах. Метрика на ГЛ, мера Хаара.
4. Линейные (матричные) представления групп и АЛ. Примеры представлений, присоединенные представления АЛ и ГЛ. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Эквивалентные представления. Приводимые и неприводимые представления. Характер представления. Леммы Шура. Элементы теории характеров.
5. Обертывающие АЛ и операторы Казимира. Конечномерные неприводимые представления АЛ $sl(2)\sim su(2)$ и ГЛ $SU(2)$ (представления со старшим весом). Ряд Клебша-Гордана.
6. Группа перестановок (симметрическая группа) $S_n$. Определяющее (фундаментальное) и тензорные представления $SU(n)$. Дуальность Шура - Вейля. Диаграммы Юнга.
7. Однородные и симметрические пространства. Расслоенные пространства. Связности на расслоениях. Примеры: сферы, грассманианы, расслоения Хопфа, ...
8. Гомотопические группы. Элементы гомотопической топологии.
9. Пространство Минковского $M$. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Группа $SL(2,\mathbb{C})$ и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры.
10. $D$- мерная алгебра Клиффорда $Cl_{(D,0)}$ и ее представления. Группы $Spin(D)$. Алгебра Клиффорда $Cl_{(1,D-1)}$ и ее представления. Группы $Spin(1,D-1)$. Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии.
11. Индуцированные представления. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Унитарные представления группы Пуанкаре. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре.
12. Базис Картана-Вейля в АЛ. Разложение Картана элементов ГЛ. Корневые системы, диаграммы Дынкина. Классификация полупростых алгебр и групп Ли.