| Лекции: | Алексей Исаев |
| Семинары: | Иван Харук |
Теория групп (6-7 семестры)
План курса- Группы (определения и примеры). Понятие симметрии. Определение группы, подгруппы, смежные классы, фактор- пространство, инвариантные подгруппы, фактор- группа, центр, прямое произведение групп, и т.д.
- Матричные группы (\(GL(n)\), \(SL(n)\), \(U(n,m)\), \(SU(n,m)\), \(O(n,m)\), \(SO(n,m)\), \(Sp(2n)\), \(Usp(2n)\), и т.д.). Отображения групп (гомоморфизм, изоморфизм, Ker, Im, точные последовательности).
- Многообразия. Группы Ли (ГЛ) и алгебры Ли (АЛ) (общая теория и примеры). АЛ матричных групп. Комплексные и вещественные АЛ. Вещественные формы ГЛ. Компактные ГЛ и АЛ. Простые и полупростые АЛ. Универсальные накрывающие ГЛ. Суммирование и интегрирование на группах. Метрика на ГЛ, мера Хаара.
- Линейные (матричные) представления групп и АЛ. Примеры представлений, присоединенные представления АЛ и ГЛ. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Эквивалентные представления. Приводимые и неприводимые представления. Характер представления. Леммы Шура. Элементы теории характеров.
- Обертывающие АЛ и операторы Казимира. Конечномерные неприводимые представления АЛ \(sl(2)\sim su(2)\) и ГЛ \(SU(2)\) (представления со старшим весом). Ряд Клебша-Гордана.
- Группа перестановок (симметрическая группа) \(S_n\). Определяющее (фундаментальное) и тензорные представления \(SU(n)\). Дуальность Шура - Вейля. Диаграммы Юнга.
- Однородные и симметрические пространства. Расслоенные пространства. Связности на расслоениях. Примеры: сферы, грассманианы, расслоения Хопфа, ...
- Гомотопические группы. Элементы гомотопической топологии.
- Пространство Минковского \(M\). Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Группа \(SL(2,\mathbb{C})\) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры.
- \(D\)- мерная алгебра Клиффорда \(Cl_{(D,0)}\) и ее представления. Группы \(Spin(D)\). Алгебра Клиффорда \(Cl_{(1,D-1)}\) и ее представления. Группы \(Spin(1,D-1)\). Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии.
- Индуцированные представления. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Унитарные представления группы Пуанкаре. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре.
- Базис Картана-Вейля в АЛ. Разложение Картана элементов ГЛ. Корневые системы, диаграммы Дынкина. Классификация полупростых алгебр и групп Ли.
