Логин: Delete icon
Пароль:Регистрация
Логотип Физического факультета МГУ
Логотип Института ядерных исследований РАН
Кафедра физики частиц и космологии
Физического факультета МГУ
IconIconIconIconIcon
  •Главная   •ИЯИ   •Наука   •Учеба   •Курсовые   •Люди   •Связь   •Брошюра   •Постер

Численные методы (8 семестр)

Лекции: Григорий Рубцов
Семинары: Александр Иванов

Рассматриваются алгоритмы и подходы к численному решению задач, возникающих в физике частиц и космологии.

Аннотация

План курса

  1. Введение
    • численные методы и их применение в физике
    • доступные инструменты: языки, среды, математические библиотеки
    • возможности современных вычислительных машин
    • представление чисел с плавающей точкой; ошибки округления
    • алгоритмы: сложность, точность, устойчивость
  2. Методы решения задач линейной алгебры
    • решение систем линейных уравнений, нахождение обратной матрицы
    • метод Гаусса-Жордана; UL-разложение; сингулярное разложение
    • трехдиагональные матрицы; метод прогонки, его связь с UL-разложением
    • ленточные метрицы
  3. Интерполяция и приближение
    • интерполяциия полиномами; интерполяция сплайнами
    • приближение методом наименьших квадратов; метод наибольшего правдоподобия
  4. Методы оптимизации
    • симплекс-метод
    • метод сопряженных градиентов
  5. Численное дифференцирование
    • точность вычисления производной
    • частные производные; лаплассиан
    • понятие разностной схемы
  6. Генерация случайных чисел
    • методы генерации случайных чисел
    • тестирование генератора
    • хэш-функции и их применения
    • генерация случайной величины с заданным распределением
  7. Статистический анализ данных
    • проверка гипотез; уровень достоверности
    • критерий Колмогорова-Смирнова; критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
    • проверка неточно сформулированной гипотезы, штрафные множители
  8. Быстрое преобразование Фурье (FFT)
    • одномерное и многомерное FFT
    • вычисление корреляционных функций, спектральный анализ данных
    • фильтры
  9. Обработка больших объемов данных
    • форматы хранения больших объемов данных: бинарные форматы, реляционные и нереляционные базы данных
    • построение индексов; хэш-индексы, древесные индексы
    • алгоритмы потоковой обработки данных
  10. Алгоритмы параллельных вычислений
    • аппаратные среды: суперкомпьютер с общей памятью, кластер, грид, облако
    • программные средства: MPI, openmp, LHC-grid, собственный протокол
    • степень параллелизма алгоритмов различного типа
    • распределенное хранение данных
  11. Численное интегрирование
    • элементарные методы (трапеций, Симпсона, Ньютона-Котеса)
    • экстраполяция Ричардсона
    • несобственные интегралы; интегрирование быстро осциллирующих функций
    • квадратуры Гаусса; метод Монте-Карло
    • методы многомерного интегрирования
  12. Дифференциальные уравнения
    • задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
    • сходимость разностной схемы
    • метод Рунге-Кутта, неявные методы
    • методы решения одномерной краевой задачи; метод стрельбы
  13. Уравнения в частных производных
    • дискретизация
    • метод матричной прогонки
    • релаксационные методы
    • сведение к задаче оптимизации; минимизация действия
    • многосеточный метод (multigrid)
  14. Стохастические алгоритмы
    • метод цепей Маркова (Markov chain Monte Carlo)
    • алгоритм Метрополиса
Литература
  • W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vettering, B.P. Flannery, «Numerical recipes. The art of scientific computing» Cambridge university press, 2007.
  • E.L. Lehmann, J.P. Romano, «Testing Statistical Hypotheses» Springer, 2005.