Численные методы, 8 семестр (2024)
| Лекции: | Григорий Рубцов |
| Семинары: | Никита Позднухов |
Аннотация
Решение большого числа задач теоретической физики частиц, астрофизики и космологии включает в себя автоматизированные вычисления и численное моделирование. В лекционном курсе содержатся базовые сведения о принципах численного решения физических задач и обработки экспериментальных данных. Студенты познакомятся с методами решения задач линейной алгебры, методами решения дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач, методами минимизации и стохастическими методами. Будут кратко рассмотрены алгоритмы параллельных вычислений и принципы работы с большими объемами данных.
План курса
План курса
- Введение
- численные методы и их применение в физике;
- доступные инструменты: языки, среды, математические библиотеки;
- представление чисел с плавающей точкой; ошибки округления, точность вычисления производной;
- алгоритмы: сложность, точность, устойчивость;
- алгоритмы параллельных вычислений: сложность, ускорение, эффективность;
- аппаратные среды для параллельных вычислений: суперкомпьютер с общей памятью, кластер, видеокарта;
- программные средства: MPI, OpenMP, CUDA.
- Методы решения задач линейной алгебры
- решение систем линейных уравнений, нахождение обратной матрицы;
- метод Гаусса-Жордана; UL-разложение; сингулярное разложение;
- трехдиагональные матрицы; ленточные метрицы;
- метод прогонки.
- Быстрое преобразование Фурье (FFT)
- одномерное и многомерное дискретное преобразование Фурье;
- преобразование Фурье на сфере;
- вычисление корреляционных функций, спектральный анализ данных;
- фильтры.
- Генерация случайных чисел
- методы генерации случайных чисел;
- тестирование генератора;
- хэш-функции и их применения;
- генерация случайной величины с заданным распределением;
- свойства гауссовых случайных величин.
- Статистический анализ данных
- проверка гипотез; уровень достоверности;
- соответствие случайной величины заданному распрелению: критерий Колмогорова-Смирнова и другие;
- проверка гипотезы, зависящей от параметров: частотный и Байесовский подходы;
- проверка неточно сформулированной гипотезы, эффект подбора гипотезы (look elsewhere effect);
- метод цепей Маркова (Markov chain Monte Carlo), алгоритм Метрополиса.
- Решение нестационарного уравнения Шредингера
- формулировка задачи в безразмерных терминах;
- дискретизация, граничные условия;
- анализ стабильности численной эволюции, метод Эйлера;
- метод эволюции с помощью дискетного преобразования Фурье.
- Нахождение профиля солитонного решения
- сведение к одномерной граничной задаче в безразмерных величинах;
- дискретизация, метод матричной прогонки;
- метод пристрелки: сведение к задаче Коши;
- экстраполяция Ричардсона и методы бесконечного порядка для систем ОДУ;
- достоинства и недостатки метода пристрелки.
- Задача о нахождении уровней энергии с большой точностью
- числа произвольной точности;
- алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера;
- точность округления.
- Поле гравитирующих тел
- граничная задача для уравнений в частных производных;
- метод дискретного преобразования Фурье, его недостатки;
- методы релаксации: методы Якоби и Гаусса-Сейделя;
- релаксация как расщепление операторов;
- скорость сходимости методов релаксации;
- SOR и его скорость сходимости;
- многосеточный метод;
- полный многосеточный метод;
- решение нелинейных уравнений с помощью многосеточного метода.
Литература
- W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vettering, B.P. Flannery, «Numerical recipes. The art of scientific computing» Cambridge university press, 2007.
- E.L. Lehmann, J.P. Romano, «Testing Statistical Hypotheses» Springer, 2005.
- A. Mushtaq et al., «Very high-precision solutions of a class of Schrodinger type equations», Computer Physics Communications 182 (2011) 1810.
- J. Stoer, R. Bulirch, «Introduction to Numerical Analysis», Springer-Verlag, 1991.
- P. Wesseling, «An Introduction to Multigrid Methods», Wiley, 1991.
- H. Yoshida, «Construction of higher order symplectic integrators», Phys. Lett. A 150, 262 (1990).
