Логин: Delete icon
Пароль:Регистрация
Логотип Физического факультета МГУ
Логотип Института ядерных исследований РАН
Кафедра физики частиц и космологии
Физического факультета МГУ
IconIconIconIconIcon
  •Главная   •ИЯИ   •Наука   •Учеба   •Курсовые и дипломы   •Люди   •Связь   •Постер

Численные методы, 8 семестр (2024)

Лекции:Григорий Рубцов
Семинары:Никита Позднухов

Аннотация

Решение большого числа задач теоретической физики частиц, астрофизики и космологии включает в себя автоматизированные вычисления и численное моделирование. В лекционном курсе содержатся базовые сведения о принципах численного решения физических задач и обработки экспериментальных данных. Студенты познакомятся с методами решения задач линейной алгебры, методами решения дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач, методами минимизации и стохастическими методами. Будут кратко рассмотрены алгоритмы параллельных вычислений и принципы работы с большими объемами данных.

План курса

План курса

  1. Введение
    • численные методы и их применение в физике;
    • доступные инструменты: языки, среды, математические библиотеки;
    • представление чисел с плавающей точкой; ошибки округления, точность вычисления производной;
    • алгоритмы: сложность, точность, устойчивость;
    • алгоритмы параллельных вычислений: сложность, ускорение, эффективность;
    • аппаратные среды для параллельных вычислений: суперкомпьютер с общей памятью, кластер, видеокарта;
    • программные средства: MPI, OpenMP, CUDA.
  2. Методы решения задач линейной алгебры
    • решение систем линейных уравнений, нахождение обратной матрицы;
    • метод Гаусса-Жордана; UL-разложение; сингулярное разложение;
    • трехдиагональные матрицы; ленточные метрицы;
    • метод прогонки.
  3. Быстрое преобразование Фурье (FFT)
    • одномерное и многомерное дискретное преобразование Фурье;
    • преобразование Фурье на сфере;
    • вычисление корреляционных функций, спектральный анализ данных;
    • фильтры.
  4. Генерация случайных чисел
    • методы генерации случайных чисел;
    • тестирование генератора;
    • хэш-функции и их применения;
    • генерация случайной величины с заданным распределением;
    • свойства гауссовых случайных величин.
  5. Статистический анализ данных
    • проверка гипотез; уровень достоверности;
    • соответствие случайной величины заданному распрелению: критерий Колмогорова-Смирнова и другие;
    • проверка гипотезы, зависящей от параметров: частотный и Байесовский подходы;
    • проверка неточно сформулированной гипотезы, эффект подбора гипотезы (look elsewhere effect);
    • метод цепей Маркова (Markov chain Monte Carlo), алгоритм Метрополиса.
  6. Решение нестационарного уравнения Шредингера
    • формулировка задачи в безразмерных терминах;
    • дискретизация, граничные условия;
    • анализ стабильности численной эволюции, метод Эйлера;
    • метод эволюции с помощью дискетного преобразования Фурье.
  7. Нахождение профиля солитонного решения
    • сведение к одномерной граничной задаче в безразмерных величинах;
    • дискретизация, метод матричной прогонки;
    • метод пристрелки: сведение к задаче Коши;
    • экстраполяция Ричардсона и методы бесконечного порядка для систем ОДУ;
    • достоинства и недостатки метода пристрелки.
  8. Задача о нахождении уровней энергии с большой точностью
    • числа произвольной точности;
    • алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера;
    • точность округления.
  9. Поле гравитирующих тел
    • граничная задача для уравнений в частных производных;
    • метод дискретного преобразования Фурье, его недостатки;
    • методы релаксации: методы Якоби и Гаусса-Сейделя;
    • релаксация как расщепление операторов;
    • скорость сходимости методов релаксации;
    • SOR и его скорость сходимости;
    • многосеточный метод;
    • полный многосеточный метод;
    • решение нелинейных уравнений с помощью многосеточного метода.

Литература

  • W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vettering, B.P. Flannery, «Numerical recipes. The art of scientific computing» Cambridge university press, 2007.
  • E.L. Lehmann, J.P. Romano, «Testing Statistical Hypotheses» Springer, 2005.
  • A. Mushtaq et al., «Very high-precision solutions of a class of Schrodinger type equations», Computer Physics Communications 182 (2011) 1810.
  • J. Stoer, R. Bulirch, «Introduction to Numerical Analysis», Springer-Verlag, 1991.
  • P. Wesseling, «An Introduction to Multigrid Methods», Wiley, 1991.
  • H. Yoshida, «Construction of higher order symplectic integrators», Phys. Lett. A 150, 262 (1990).