Напоминание. Компактные алгебры Ли. Конечные системы корней, диаграммы Дынкина, классификация Картана. Группа Вейля. Веса и представления. Формула Вейля.
Афинные системы корней. Классификация афинных систем корней. Мнимые корни.
Алгебры петель. Центральное расширение как коцикл. Афинные алгебры как центральное расширение алгебр петель. Алгебра Вирасоро как центральное расширение алгебры векторных полей на окружности. Симметрии теории струн.
Нетвистованные афинные алгебры как алгебры петель. Разложение по модам и системы корней. Алгебра \(\hat{A}_1\)
Твистованные афинные алгебры. Автоморфизмы диаграм Дынкина. Твистованные граничные условия. Алгебра \(\widehat{BC}_1\). Орбифолды в теории струн.
Афинная группа Вейля. Действие на решетке корней. Афинныа группа Вейля как группа движений решетки весов конечной алгебры. Афинная группа Вейля для твистованных алгебр.
Представления афинных алгебр. Представление evaluation. Представления старшего веса. Решетка весов. Интегрируемые представления старшего веса как аналоги конечномерных представлений компактных алгебр. Действие афинной группы Вейля на весах. Инвариантность представлений относительно группы Вейля. Размерности весовых подпространств.
Модуль Верма. Разрешение Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда (БГГ) для компактных алгебр.
Разрешение БГГ для афинных алгебр.
Характеры представлений алгебр Ли. Формальные характеры. Интерпретация характеров как статистических сумм двумерных киральных теорий.
Формула Вейля-Каца для характера. Доказательство с помощью разрешения БГГ. Тройное тождество Якоби.
Двумерные конформные теории с расширенной симметрией. Связь с алгебрами петель. Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Голоморфные токи и бесконечномерная симметрия.
Конструкция Шугавары для тензора энергии-импульса модели ВЗНВ. Уравнение Книжника-Замолодчикова на конформные блоки модели ВЗНВ. Вывод из конструкции Шугавары.
Представления афинных алгебр и вертексные операторы модели ВЗНВ. Интегрируемые представления и вырожденные модули Верма. Рациональная конформная теория поля. Нулевые вектора в модулях Верма. Минимальные модели двумерной конформной теории поля.
Модулярная ковариантность характеров афинных алгебр как следствие модулярной инвариантности двумерной статсуммы. S и T преобразования. Формула пересуммирования Пуассона. Модулярно инвариантные кратности и ADE классификация статсумм.
Заключение. Связь с теорией узлов и квантовыми группами. q-деформация и R-матрица.
