Теория групп (2025)
План курса
Осенний семестр (обязательный)
- Определение группы, конечная, дискретная, непрерывная и абелева группы
- Группа $GL(N)$, $SL(N)$, $O(N)$, $SO(N)$, $U(N)$, $SU(N)$, $Sp(N)$, $Z_n$, $C_n$, $D_n$, $S_n$, $(Z,+)$, $(R,+)$, $(R\backslash\{0\},*)$
- Гомоморфизм, изоморфизм, таблица Кэли
- Подгруппа, левый и правый смежные классы, понятие инвариантной подгруппы
- Теорема Лагранжа.
- Операции над группами: прямое умножение групп и деление на инвариантную подгруппу. Фактор-группа.
- Определение простой и полупростой групп.
- Классы сопряженных элементов. Центр группы.
- Отображения, группы и преобразования. Точные последовательности.
- Гладкие многообразия, гомеоморфизм, связное и односвязное многообразие.
- Группа Ли, Многообразия групп Ли.
- Компактные многообразия, компактные группы Ли.
- Касательные на многообразии, векторы, касательные пространства.
- Касательные пространства к матричным группам Ли.
- Матричные алгебры Ли. Алгебры $sl(2, \mathbb{C}), o(n), so(n), u(n), su(n), so(p,q)$.
- Общее определение алгебр Ли. Гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм алгебр Ли.
- Овеществление, комплексификация, вещественные формы алгебр Ли. Вещественные формы алгебры $sl(2, \mathbb{C})$.
- Локально изоморфные группы Ли. Универсальная накрывающая.
- Представление группы Ли, унитарное представление.
- Определяющее (фундаментальное), сопряженное, контрградиентное и присоединенное представления.
- Простые и полупростые алгебры Ли. Прямая сумма алгебр Ли.
- Метрика Киллинга для алгебры Ли. Критерий полупростоты.
- Представление алгебры Ли.
- Определяющее (фундаментальное), сопряженное, контрградиентное и присоединенное представления Алгебр Ли.
- Прямое произведение и прямая сумма представлений.
- Разрешимые, приводимые и неприводимые представления.
- Лемма Шура.
- Инвариантная метрика на группе Ли. Мера Хаара.
- Существование инвариантной положительной эрмитовой формы на компактной группе.
- Ортогональность матричных элементов представления компактной группы.
- Аппроксимационная лемма.
- Ряды Фурье на линейной группе.
- Регулярное представление дискретной и непрерывной группы.
- Характеры. Первая и вторая теоремы Бернсайда.
Весенний семестр (по выбору)
- Обертывающая алгебра алгебры Ли. Оператор Казимира.
- Представления алгебры $sl(2, \mathbb{C})$: двумерное представление $sl(2, \mathbb{C})$, представление старшего веса.
- Произведение представлений $sl(2, \mathbb{C})$, Коэффициенты Клебша-Гордана.
- Дифференциал представления.
- Дифференциальная реализация представления алгебры $sl(2, \mathbb{C})$.
- Компактные алгебры Ли.
- Структура компактных алгебр Ли.
- Подалгебра Картана, Базис Картана-Вейля.
- Корни и корневые пространства.
- Группа Вейля, струна корней.
- Простые корни, матрица Картана.
- Диаграммы Дынкина, классификация простых алгебр Ли.
- Веса и представление старшего веса простой алгебры Ли.
- Модуль Верма, процедура построения представления старшего веса.
- Формула Фрейденталя.
- Формула Вейля для характеров.
- Произведение представлений старшего веса.
