Группы (определения и примеры). Понятие симметрии. Определение группы, подгруппы, смежные
классы, фактор- пространство, инвариантные подгруппы, фактор- группа, центр, прямое произведение
групп, и т.д.
Матричные группы (\(GL(n)\), \(SL(n)\),
\(U(n,m)\), \(SU(n,m)\), \(O(n,m)\), \(SO(n,m)\),
\(Sp(2n)\), \(Usp(2n)\), и т.д.).
Отображения групп (гомоморфизм, изоморфизм, Ker, Im, точные
последовательности).
Многообразия. Группы Ли (ГЛ) и алгебры Ли (АЛ) (общая теория и примеры). АЛ матричных
групп. Комплексные и вещественные АЛ. Вещественные формы ГЛ. Компактные ГЛ и АЛ. Простые и
полупростые АЛ. Универсальные накрывающие ГЛ. Суммирование и интегрирование на группах. Метрика на
ГЛ, мера Хаара.
Линейные (матричные) представления групп и АЛ. Примеры представлений, присоединенные
представления АЛ и ГЛ. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Эквивалентные
представления. Приводимые и неприводимые представления. Характер представления. Леммы Шура.
Элементы теории характеров.
Обертывающие АЛ и операторы Казимира. Конечномерные неприводимые представления
АЛ \(sl(2)\sim su(2)\) и ГЛ \(SU(2)\) (представления со старшим весом).
Ряд Клебша-Гордана.
Группа перестановок (симметрическая группа) \(S_n\). Определяющее
(фундаментальное) и тензорные представления \(SU(n)\).
Дуальность Шура - Вейля. Диаграммы Юнга.
Однородные и симметрические пространства. Расслоенные пространства. Связности на
расслоениях. Примеры: сферы, грассманианы, расслоения Хопфа, ...
Гомотопические группы. Элементы гомотопической топологии.
Пространство Минковского \(M\). Группы Лоренца и Пуанкаре.
Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Группа \(SL(2,\mathbb{C})\) и
группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы
Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры.
\(D\)- мерная алгебра Клиффорда \(Cl_{(D,0)}\)
и ее представления. Группы \(Spin(D)\).
Алгебра Клиффорда \(Cl_{(1,D-1)}\) и ее представления.
Группы \(Spin(1,D-1)\). Уравнение Дирака
и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские
спиноры в многомерии.
Индуцированные представления. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы
Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Унитарные представления группы Пуанкаре. Массивные и безмассовые
представления группы Пуанкаре.
Базис Картана-Вейля в АЛ. Разложение Картана элементов ГЛ. Корневые системы, диаграммы
Дынкина. Классификация полупростых алгебр и групп Ли.