\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{rotating}

\textheight 225mm

\begin{document}
\begin{center}
{\sf \LARGE<<Конформная
    теория поля>>}\\
{\Large Задачи к экзамену}\\
{(весна 2015 г.)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item {\bf Голографическая КХД}\\
  Рассмотрим квантовую хромодинамику с $N$ безмассовыми
  кварками. Эта теория обладает глобальной симметрией $SU(N)_L
  \times SU(N)_R \times U(1)_B$ и соответствующими сохраняющимися
  токами $J_\mu^L(x)$, $J_\mu^R(x)$ и $J_\mu^B(x)$. Для простоты
  будем игнорировать абелеву часть теории, т.е. группу $U(1)_B$ и ток
  $J_\mu^B$. Введем пятимерные калибровочные $su(N)$ поля $L_A(x,z)$ и
  $R_{A}(x,z)$, дуальные к $J_\mu^L(x)$ и $J_\mu^R(x)$. Действие 
  дуальной модели в пространстве AdS$_5$ запишем в виде  
  \begin{equation}
    \label{eq:2}
          S_{5} = \frac{1}{2g_5^2} \int d^5 x\sqrt{|g|}\,   g^{AC} g^{BD}\,
          \mathrm{tr}\,  (L_{AB} L_{CD} + R_{AB}R_{CD})\;, 
  \end{equation}
  где $L_{AB} = \partial_A L_{B} - \partial_B L_A + [L_A,\,  L_B]$ и $R_{AB}$ --- напряженности
  соответствующих калибровочных полей. Так как КХД не является
  конформной теорией, обрежем пространство AdS$_5$,
  $\epsilon < z <
  L$, нарушив его симметрии. Граничное условие при $z=L$
  выберем в виде 
  \[
  L_\mu = R_\mu \;, \qquad  \partial_5 L_\mu = -\partial_5 R_\mu\;,
  \qquad L_5 = -R_5\;, \qquad \partial_5 L_5 = \partial_5 R_5\;,\qquad  z=L\;.
  \]
  Границы $z = L$ и $z=\epsilon \ll L$ будем называть <<инфракрасной>>
  и <<ультрафиолетовой>>, соответственно. 
  \begin{enumerate}
    \item Пользуясь основной формулой голографического соответствия,
      найти двухточечную функцию токов КХД $\langle J_\mu^L(x)
      J_\nu^R(x')\rangle$. Рассмотреть пределы низких и высоких
      энергий.
    \item Рассмотрим модель без источников: $L_{AB} = R_{AB} =
      0$ при $x=\epsilon$. Какими глобальными симметриями она обладает?
      Найти общее решение
      классических уравнений движения при низких энергиях, т.е. при
      $\partial_x \ll L^{-1}$. Подставив это решение в (\ref{eq:2}),
      получить низкоэнергетическое эффективное действие теории. Что
      описывает это действие? Какие  поля в нем присутствуют?  
    \item Вычислить низкоэнергетическое эффективное действие с
      фиксированными значениями полей на границе, 
      \begin{equation}
        L_{\mu}(x,0) = \bar{L}_{\mu}(x)\;, \qquad\qquad 
        R_{\mu}(x,0) = \bar{R}_{\mu}(x)\;.
      \end{equation}
      Получить производящий функционал для
      функций Грина токов КХД.
  \end{enumerate}
  
\item {\bf Вырожденные конформные семейства}\\
  Рассмотрим представление алгебры Вирасоро с центральным зарядом $c$,
  основанное на примарном векторе $|\phi_\Delta\rangle$ размерности
  $\Delta$. {\it Нулевым вектором} называется такое состояние
  $|\chi\rangle$ этого представления, которое само является
  примарным, т.е.
  \[
  L_n |\chi\rangle = 0\;, \;\;\;\; n>0 \;, \qquad\qquad L_0
  |\chi\rangle = (\Delta + N)|\chi\rangle\;,
  \]
  где $N$ --- уровень вектора $|\chi\rangle$. 
  \begin{enumerate}
    \item \label{item:1}Найти значения $\Delta$, при которых в
      представлении есть нулевой вектор на 
      уровне $N=1$. То же для $N=2$ и $3$.
    \item Сравнить ответ с формулой Каца:
      \[
      \Delta \equiv \Delta_{(n,\, m)} = \frac{c-1}{24} + \frac14 (n\alpha_+
      + m\alpha_-)^2\;, \qquad\qquad \alpha_{\pm} =
      \frac{\sqrt{1-c}\pm \sqrt{25-c}}{\sqrt{24}}\;,
      \]
      где $n$, $m$ --- целые положительные числа, такие, что
      $N=nm$. Соответствующие примарные поля будем обозначать
      $\phi_{(n,\, m)}\equiv \phi_{\Delta}$.
    \item \label{item:2}Показать, что нулевые вектора и их потомки ортогональны
      всем векторам представления, в том числе самим себе. Таким
      образом, их можно самосогласованно положить равными
      нулю. Полученные в результате такой редукции представления
      алгебры Вирасоро и примарный вектор $|\phi_\Delta\rangle \equiv
      |\phi_{(n,\, m)}\rangle$ называются {\it вырожденными}.
    \item Из условия равенства нулю векторов, найденных в
      п.~\ref{item:1}, получить дифференциальные уравнения для корреляторов
      \[
      \langle\, \phi_{\Delta} (z)\; \phi_{\Delta_1}(z_1) \dots
      \phi_{\Delta_n} (z_n)\,\rangle
      \]
      вырожденных полей с другими примарными полями при $N=1,\, 2,\, 3$.
    \item Проверить на простых примерах, что операторное произведение
      вырожденных полей содержит только вырожденные поля. А именно,
      показать, что 
      \begin{align}
        & \phi_{(1,\,2)} \times \phi_{(n,m)} = [\phi_{(n,\,m-1)}] +
        [\phi_{(n,\,m+1)}]\;,\\
        & \phi_{(2,\, 1)} \times \phi_{(n,\,m)} = [\phi_{(n-1,\, m)}]
        + [\phi_{(n+1,\, m)}]\;, 
      \end{align}
      где $[\phi_{(n,\, m)}]$ обозначает линейную комбинацию полей
      семейства $(n,\, m)$.\\
      {\it Указание.} Записать и решить уравнение для трехточки
      вырожденного поля с двумя другими полями.
      \item Доказать, что операторное разложение $\phi_{(1,\, 2)}
        \times \phi_{(2,\, 1)}$ и эквивалентное ему $\phi_{(2,\, 1)}
        \times \phi_{(1,\, 2)}$ содержат только вырожденные поля с 
        $(n>0, \, m>0)$. Это утверждение верно для всех вырожденных
        полей с положительными $(n, \, m)$, которые образуют замкнутую алгебру. 
  \end{enumerate}
\item {\bf Возникающая релятивистская инвариантность}\\
  Пусть в некоторой теории на масштабе импульсов $\Lambda$
  присутствует лоренц--на\-ру\-ша\-ю\-щее поле~$\bar{\phi}$, 
  \begin{equation}
    \label{eq:6}
  S_{0} = \frac{1}{2}\int d^4 x\;  \left[(\partial_t \bar{\phi})^2 - v^2
  (\partial_i\bar{\phi})^2  - \mu_{UV}^2\bar{\phi}^2\right]\;,
  \end{equation}
  где $v\ne 1$ --- скорость $\bar{\phi}$. Пусть далее это поле
  взаимодействует с некоторым оператором ${\cal O}$ сильносвязанной
  конформной теории,
  \begin{equation}
    \label{eq:5}
    S_{int} = g \Lambda^{3-\Delta_{\cal O}}\int d^4 x \,
    \bar{\phi}\,{\cal O}\;,
  \end{equation}
  где мы ввели безразмерную константу связи $g$ и положили
  конформную и каноническую размерности ${\cal O}$
  равными $\Delta_{\cal O}$. Видно, что при $\Delta_{\cal O} < 3$
  взаимодействие (\ref{eq:5}) релевантно в инфракрасии, в обратном
  случае~--- иррелевантно.
  \begin{enumerate}
    \item Построить AdS/CFT модель для вычисления
      корреляционных функций операторов ${\cal O}$.
      {\it Примечание.} Для теории, обрезанной на масштабе $\Lambda$,
      следует положить
      ${z>l_{AdS}\equiv\Lambda^{-1}}$.
    \item С помощью этой модели вычислить двухточечную
      корреляционную функцию ${\cal O}$ в импульсном представлении.
    \item Найти пропагатор поля $\bar{\phi}$ в изначальной теории (\ref{eq:6}),
      (\ref{eq:5}). 
    \item Получить инфракрасный предел этого пропагатора в случаях
      $\Delta_{\cal O} > 3$ и $\Delta_{\cal O} < 3$. Восстанавливается
      ли симметрия Лоренца при низких энергиях?
  \end{enumerate}

\item {\bf Теорема Замолодчикова}\\
  Рассмотрим двумерную квантовую теорию (не обязательно конформную),
  обладающую инвариантностью относительно евклидовых трансляций и
  вращений. В такой теории присутствует симметричный тензор энергии--импульса
  $T_{\mu\nu}(x) = T_{\nu\mu}(x)$. Рассмотрим корреляторы
  компонент этого тензора
  \begin{equation}
    \notag
    D = z^4 \langle T_{zz}(x) \, T_{zz}(0,\, 0)\rangle \;,
    \;\;
    E = z^3 \bar{z} \langle T_{zz}(x) \, T_{z\bar{z}}(0,\,
    0)\rangle \;, \;\;
    F = z^2 \bar{z}^2 \langle T_{z\bar{z}}(x) \, T_{z\bar{z}}(0,\,
    0)\rangle 
  \end{equation}
  в комплексных координатах $x^\mu \equiv (z,\, \bar{z})$.
  \begin{enumerate}
    \item Доказать, что $D$, $E$ и $F$ --- функции $x^2 \equiv
      z\bar{z}$.
    \item Используя сохранение $T_{\mu\nu}$,
      доказать неравенство:
      \begin{equation}
        \label{eq:1}
      \frac{dC}{dx^2} \equiv \frac{d}{dx^2} \left(2D - 4E - 6F \right) \leq 0\;.
      \end{equation}
      {\it Указание.} Использовать условие положительности
      ${\langle T_{z\bar{z}}(x) \, T_{z\bar{z}}(0) \rangle \geq 0}$ в
      евклидовой 
      унитарной теории.
    \item Пусть ренормализационная группа теории имеет
      инфракрасную и ультрафиолетовую фиксированные точки. Используя
      полученный выше результат, продемонстрировать, что в этих точках теория
      является конформной, а ультрафиолетовый и инфракрасный
      центральные заряды удовлетворяют неравенству $c_{UV} > c_{IR}$.
    \item Теперь рассмотрим двумерную теорию, обладающую дилатационной
      инвариантностью. Предполагая канонические коммутациоонные
      соотношения между оператором дилатации и тензором
      энергии--импульса и используя неравенство \eqref{eq:1},
      доказать, что теория --- конформная.
  \end{enumerate}
  \newpage
  \item {\bf  Минимальные модели}
    \begin{enumerate}
    \item Решить подзадачи~\ref{item:1}---\ref{item:2}.
    \item {\it Минимальной моделью} будем называть конформную теорию,
      включающую в себя только вырожденные конформные семейства и
      обладающую 
      таким центральным зарядом, что 
      \[\frac{\alpha_-}{\alpha_+} = -\frac{p}{q}\;,\]
      где $p$ и $q$ --- взаимно--простые положительные целые
      числа. Определить размерности всех примарных полей и центральный
      заряд модели.
    \item Показать, что модель содержит только конформные семейства с
      \[
      1 \leq n < p\;, \qquad \qquad 1\leq m < q \;.
      \]
      Таким образом, количество примарных полей в минимальной модели
      ограничено.
      \item Наложим на модель дополнительное условие $\phi_{(p-n,\,
        q-m)} = \phi_{(p,q)}$. Показать, что это условие
        самосогласовано, т.е. конформные размерности соответствующих
        полей равны.
      \item При каких значениях $p$ и $q$ модель может быть унитарна?
      \item Рассмотреть явно случаи $(p,q) = (3,4)$ (модель Изинга в
        критической точке) и
        $(4,5)$ (трикритическая модель Изинга). Найти центральные
        заряды, размерности всех полей и правила слияния.
    \end{enumerate}
    \item {\bf Квазиклассическая теория Лиувилля}\\
      Рассмотрим двумерное скалярное поле с евклидовым действием
      \[
      S_0 = \frac1{8\pi}\int d^2 x\sqrt{g} \left( \frac12 g^{ab}
      \partial_a\phi \partial_b \phi + QR\phi \right)\;.
      \]
      Здесь $R$ --- скаляр кривизны, $Q$ --- число. Далее будем
      полагать, что модель определена на римановой сфере с $R=0$,
      покрытой плоскими координатами $z$ и $\bar{z}$. 
      \begin{enumerate}
        \item Найти эйнштейновский тензор энергии импульса. Показать,
          что теория конформная.
        \item Вычислить центральный заряд. Продемонстрировать, что
          $V_{\alpha} = :\mathrm{e}^{\alpha \phi}:$ являются
          примарными полями. Получить их конформные размерности. 
        \item Добавим взаимодействие
          \[
          S_{int} = \mu^2\int d^2 x :\mathrm{e}^{b \phi}:\;.
          \]
          При каком $b$ это взаимодействие не нарушает конформную
          инвариантность на квантовом уровне? Далее будем вычислять
          корреляторы во взаимдействующем случае по теории возмущений,
          полагая 
          \[
          \mathrm{e}^{-S_{int}} = \sum_n  \frac{(-1)^n}{n!} (S_{int})^n\;.
          \]
          Таким образом, учет взаимодействий происходит за счет
          вставок произвольного количества операторов $V_b$ в функции Грина.
        \item Показать, что $\Phi_{(1,2)} = V_{-b/2}$ является
          вырожденным полем второго порядка, т.е. один и его потомков
          второго уровня равен нулю. \\
          {\it Указание.} Достаточно продемонстрировать, что
          вектор состояния 
          $|\chi\rangle$, соответствующий этому потомку, ортогонален
          всем состояниям, в том числе самому себе.
        \item Используя условие равенства нулю потомка, получить
          дифференциальное уравнение на корреляторы поля
          $\Phi_{(1,2)}$, 
          \begin{equation}
            \label{eq:3}
            {\cal G} = \langle \Phi_{(1,2)}(z) V_{\alpha_1}(z_1) \dots
            V_{\alpha_n}(z_n) \rangle\;.
          \end{equation}
          Как изменяется это уравнение после учета взаимодействия?
        \item Далее будем рассматривать предел слабой связи $b \to
          0$. Пусть поля, входящие в \eqref{eq:3}, обладают
          параметрически большими значениями $\alpha_i  = - s_i /
          b$, где $s_i$ --- числа порядка единицы. Рассматривая
          функциональный интеграл для коррелятора 
          \eqref{eq:3}, показать, что
          \begin{equation}
            \label{eq:4}
            {\cal G} = \psi(z, \, z_1 ,\dots \,,z_n)\;
            \mathrm{e}^{-I(z_1,\, \dots,\, z_n)/b^2}\;,
          \end{equation}
          где $\psi$ и $I$ не зависят от $b$.
          Найти $I$ при $n=2$ и $n=3$, считая $s_i = 1$.  
        \item Используя представление \eqref{eq:4}, получить дифференцильное
          уравнение на $\psi$. Решить это уравнение при $n=2$ и
          $n=3$, приняв $s_i = 1$. \\
          {\it Указание.} Искать решение в виде рациональной функции.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
