\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{graphicx}

%\textheight 240mm

\begin{document}
\twocolumn[\centerline{\sf \LARGE ОТО--3}
\centerline{\Large (весна 2011)}
\vspace{1cm} ]{

\section*{Формулы}
\begin{enumerate}
\item Интегрирование форм:\\
$n!\, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n \to dx^1\dots dx^n$\\
$\epsilon_{\mu\nu\lambda\rho} = \sqrt{-g}\,\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho}$\\
$\hat{\epsilon} = \epsilon_{\mu\nu\lambda\rho}\, dx^\mu \wedge
dx^\nu \wedge dx^\lambda \wedge dx^\rho$\\
Теорема Стокса: $\int_{\partial V_p} \hat{\omega}_{p-1} = p\int_{V_p}
d\hat{\omega}_{p-1}$
\item \label{item:1}Оболочка $\Sigma$:\\
0-е условие сшивки:\\
$\gamma_{ij}^{\pm} = \displaystyle\frac{\partial y^{\mu}_\pm}{\partial
  x^i}\frac{\partial y^{\nu}_\pm}{\partial x^j}\, g_{\mu\nu}^\pm\Big|_\Sigma$\\
$\gamma_{ij}^{+} = \gamma_{ij}^{-} = \gamma_{ij}$\\
Гауссовы нормальные координаты: \\
$ds^2 = \epsilon dn^2 + \gamma_{ij}dx^i dx^j$\\
Внешняя нормаль:\\
$u_\mu = \epsilon D_\mu n$\\
Внешняя кривизна:\\
$K_{\mu\nu} = D_\nu u_\mu\Big|_\Sigma$\\
$K_{ij} = \displaystyle\frac{\partial y^\mu}{\partial
  x^i}\frac{\partial y^\nu} {\partial x^j}\, K_{\mu\nu} \\
\mbox{}\;\;\;\;\;\, = \pounds_u (u_\mu u_\nu - g_{\mu\nu})$\\
$K_{\mu}^\mu = \theta$\\
Тензор энергии--импульса:\\
$T_{\mu\nu} = \delta(n) S_{\mu\nu}$\\
$u^\mu S_{\mu\nu} = 0\,, \qquad D_\nu S_\mu^\nu = 0$\\
Условие Израэля:\\
$[K_i^j] - \delta^i_j [K] = -8\pi \epsilon S_i^j$
\item \label{item:3}Масса черной дыры:\\
$M = \frac1{8\pi}\int_S dx^\mu\wedge dx^\nu \, \epsilon_{\mu\nu\lambda\rho}
  D^\lambda\xi^\rho$
\item \label{item:2} Двухпараметрическое семейство геодезических
  $x^\mu = x^\mu(s,\tau)$:\\
$u^\mu = \partial x^\mu /\partial \tau\,, \qquad u^\mu u_\mu =
  \epsilon$\\
$X^\mu = \partial x^\mu /\partial s$ --- вектор отклонения\\
$v^\mu = u^\nu D_\nu X^\mu\,, \qquad a^\mu = u^\nu D_\nu v^\mu$\\
$a^\mu = - R_{\nu\lambda\rho}^{\;\; \;\;\;\;\mu}\, u^\nu X^\lambda
  u^\rho$\\
\item Конгруэнции геодезических:\\
$B_{\mu\nu} = D_\nu u_\mu\;, \qquad u^\mu B_{\mu\nu} = B_{\mu\nu}
  u^\nu = 0$\\
$u^\nu D_\nu X^\mu = B^\mu_{\;\; \nu}\, X^\nu$\\
$\gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - u_\mu u_\nu$\\
$\theta = B_{\mu\nu}\gamma^{\mu\nu}$ --- расходимость\\
$\omega_{\mu\nu} = (B_{\mu\nu} - B_{\nu\mu})/2$ --- поворот\\
$\sigma_{\mu\nu} = (B_{\mu\nu} + B_{\nu\mu})/2 - \theta \gamma_{\mu\nu}/3$
  --- сдвиг\\
$B_{\mu\nu} = \omega_{\mu\nu} + \sigma_{\mu\nu} + \theta
  \gamma_{\mu\nu}/3$\\
$u^\nu D_\nu B_{\mu\lambda} = u^\nu u^\rho R_{\nu\lambda\mu\rho} -
  B^\nu_{\;\; \lambda} B_{\mu\nu}$\\
Уравнение Райчаудхури:\\
$d\theta/d\tau = u^\nu D_\nu \theta \\\mbox{} \;\; =
  -R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu + 
  \omega_{\mu\nu} \omega^{\mu\nu} - \sigma_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu} -
  \theta^2/3$\\
Светоподобные геодезические: ${k_\mu k^\mu = 0}$ \\
$\hat{B}_{\mu\nu} = \hat{\omega}_{\mu\nu} + \hat{\sigma}_{\mu\nu} +
\theta \hat{\gamma}_{\mu\nu}/2$\\
$d\theta/d\lambda = - k^\mu R_{\mu\nu} k^\nu +
\hat{\omega}_{\mu\nu}\hat{\omega}^{\mu\nu} \\\mbox{}\qquad\;\;\;\;\;\;
-\hat{\sigma}_{\mu\nu} \hat{\sigma}^{\mu\nu} - \theta^2/2$
\item Энергетические условия:\\
$u^\mu u_\mu = 1\,, \qquad k_\mu k^\mu = 0$\\
$T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \geq 0$ --- слабое\\
$R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \geq 0$ --- сильное\\
$R_{\mu\nu}k^\mu k^\nu \geq 0$ --- нулевое
\end{enumerate}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\onecolumn
\section*{Задачи}
\begin{sloppy}

\begin{enumerate}
\item Доказать, что внешняя производная от дифференциальной формы ---
  дифференциальная форма (т.е. свертка {\it тензора} с
  дифференциалами).
\item Показать, что
$$
dy^{1}\wedge \dots \wedge dy^{n}  = \det\left(\partial y/\partial
x\right) dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}\;,
$$
где $y = y(x)$, $n$ --- размерность многообразия.
\item Получить формулы Грина и Остроградского--Гаусса из теоремы
  Стокса.
\item Показать, что $\epsilon_{\mu\nu\lambda\rho} = \varepsilon_{abcd}\,
  e_\mu^a e_\nu^b e_\lambda^c e_\rho^d$.
\item Показать, что $D_\kappa \epsilon_{\mu\nu\lambda\rho} = 0$.
\item Вычислить массу черной дыры по формуле \ref{item:3}, используя
  сферу радиуса $R>2M$.
\item Используя условия сшивки \ref{item:1}, получить уравнение
  движения для вакуумной сферической времениподобной оболочки, $S_i^j
  = s\, \delta_i^j$.\\
  {\it Указание.} Выбрать метрику на поверности оболочки в виде $ds^2
  = d\tau^2 - \rho^2(\tau) d\Omega^2$ и получить уравнение на
  $\rho(\tau)$.
\item Показать, что вектор отклонения в \ref{item:2} может быть выбран
  ортогональным к геодезическим, $u^\mu X_\mu = 0$, с помощью
  правильного выбора начала отсчета собственного времени, $\tau \to
  \tau' = \tau + f(s)$.
\item Вывести уравнение для отклонения геодезических~\ref{item:2}.
\item Получить уравнение для сдвига $\sigma_{\mu\nu}$. Показать, что
  $R_{\mu\nu\lambda\rho}u^\nu u^\rho \ne 0$ в некоторой точке приводит
  к возникновению ненулевого сдвига $\sigma_{\mu\nu}$ в окрестности
  этой точки.
\item Вывести уравнение Райчаудхури для нулевых геодезических.
\end{enumerate}

\end{sloppy}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{shells} V.A. Berezin, V.A. Kuzmin, I.I. Tkachev, ``Dynamics
  of bubbles in general relativity,'' Phys. Rev. D {\bf 36}, 2919 (1987).
\end{thebibliography}
\end{document}
