\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{amssymb,amsmath}

\textheight 225mm

\begin{document}
\twocolumn[\centerline{\sf \LARGE ОТО--1}
\centerline{\Large (весна 2011)}
\vspace{1cm} ]{

\section*{Формулы}
\begin{enumerate}
\item Обозначения:\\
$\hbar = c = k_B = G_N = 1$\\
$\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$
\item Метрика:\\
$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$
\item Векторы:\\
$\hat{A} = A^\mu \partial_\mu$\\
$\hat{B} = B_\mu dx^\mu$
\item Ковариантная производная:\\
$D_\mu A^\nu = \partial_\mu A^{\nu} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}
  A^{\lambda}$\\
$D_\mu A_\nu = \partial_\mu A_{\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}
  A_{\lambda}$\\
$D_\mu(AB) = (D_\mu A)B + A(D_\mu B)$
\item Символы Кристоффеля:\\
$D_\mu g_{\lambda\nu} = 0$\\
$\Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} = \Gamma^{\mu}_{\lambda\nu}$\\
$\Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} = \frac12 g^{\mu\rho} (\partial_\nu
  g_{\lambda\rho} + \partial_\lambda g_{\nu\rho} - \partial_{\rho}
  g_{\nu\lambda})$
\item Кривизна:\\
$[D_\mu,D_\nu] A_\lambda = R_{\mu\nu\lambda}^{\;\;\;\;\;\;\rho}
  \,A_{\rho}$\\
$[D_\mu,D_\nu] A^\lambda = - R_{\mu\nu\rho}^{\;\;\;\;\;\;\lambda}
  \,A^{\rho}$\\
$R_{\mu\nu\lambda}^{\;\;\;\;\;\;\rho} = \partial_\nu
  \Gamma_{\mu\lambda}^\rho - \partial_\mu \Gamma_{\nu\lambda}^\rho +
  \Gamma_{\mu\lambda}^\kappa \Gamma_{\kappa\nu}^{\rho} -
  \Gamma_{\nu\lambda}^\kappa \Gamma_{\kappa\mu}^\rho$\\
$R_{\mu\lambda} = R_{\mu\nu\lambda}^{\;\;\;\;\;\;\nu} \\
\mbox{}\;\;\;\;\;\;= \partial_\nu
  \Gamma_{\mu\lambda}^\nu - \partial_\mu \Gamma_{\nu\lambda}^\nu +
  \Gamma_{\mu\lambda}^\kappa \Gamma_{\nu\kappa}^{\nu} -
  \Gamma_{\lambda\nu}^\kappa \Gamma_{\kappa\mu}^\nu$\\
$R = g^{\mu\lambda} R_{\mu\lambda}$
\item Свойства кривизны:\\
$R_{\mu\nu\lambda\rho} = - R_{\mu\nu\rho\lambda} =
  -R_{\nu\mu\lambda\rho} = R_{\lambda\rho\mu\nu}$\\
$R_{[\mu\nu\lambda]\rho} = 0$\\
$D_{[\kappa}R_{\mu\nu]\lambda\rho} = 0$
\item Геодезическая:\\
$S = -m\int ds$\\
$\frac{d}{ds} u_\mu - u^{\nu}u_\kappa \Gamma_{\mu\nu}^\kappa =
  u^\nu D_\nu u_\kappa = 0$\\
$u^\mu = dx^\mu/ds$; $\;\;\; u_\mu^2 = 1 \mbox{ или } 0$
\item Уравнения Эйнштейна:\\
$S = -\frac1{16\pi} \int R\sqrt{-g} d^4 x$\\
$R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R = 8\pi T_{\mu\nu}$\\
$R_{\mu\nu} = 8\pi \left(T_{\mu\nu}- \frac12 g_{\mu\nu} T\right)$\\
$T_{\mu\nu} = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta
  S_m}{\delta g^{\mu\nu}}$
\item Уравнение Ньютона:\\
\label{item:4}
$g_{00} = 1+2\Phi$; \hspace{5mm}
$T_{00} = \rho$\\
$\Gamma_{00}^i = \partial_i\Phi $; \hspace{10.5mm} $R_{00}= \Delta \Phi
  $\\
$\Delta \Phi = 4\pi \rho$
\item \label{item:1}Производная Ли:\\
$y^\mu=x^\mu+\xi^\mu(x)$\\
${T_\mu^{\nu}}'(x) = T_\mu^\nu (x) \Leftrightarrow \pounds_\xi
  T^\nu_\mu = 0$ \\
$\pounds_\xi T^{\mu}_\nu = \xi^\lambda D_\lambda T^\mu_\nu -
  T^\lambda_\nu D_\lambda \xi^\mu + T^\mu_\lambda D_\nu \xi^\lambda$
\item Вектор Киллинга:\\
$\pounds_\xi g_{\mu\nu} = 0 \Leftrightarrow D_\mu \xi_\nu + D_\nu
  \xi_\mu = 0$\\
$D_\mu D_\nu \xi_\lambda = - R_{\nu\lambda\mu\kappa} \xi^\kappa$
\item Законы сохранения:\\
$I = u^\mu \xi_\mu$; $u^\lambda D_\lambda I = 0$
\item Статическая сферически--симметричная метрика:\\
\label{item:2}
$ds^2 = f(r) dt^2 - h(r) dr^2 - r^2 d\Omega^2$\\
$d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \,d\phi^2$
\item Тетрады:\\
$e_{\mu a} e^\mu_b = \eta_{ab}$; $\;\;\;\; e_{\mu a} e^a_{\nu} = g_{\mu\nu}$\\
$\omega_{\mu ab} = e^\nu_a D_\mu e_{\nu b}$; $\;\;\;\; \omega_{\mu ab}
  = -\omega_{\mu ba}$\\
$e^\nu_a D_\mu A_\nu = \partial_\mu A_a + \omega_{\mu ab} A^b$\\
$\hat{e}_a = e_{\mu a} dx^\mu$; $\;\;\;\; \hat{\omega}_{ab} =
  \omega_{\mu ab} dx^\mu$\\
$\hat{R}_{ab} = R_{\mu\nu\lambda\rho}\, e^\mu_a e^\nu_b\, dx^\lambda
  \wedge dx^\rho$\\
$d\hat{e}_a + \hat{\omega}_{ab} \wedge \hat{e}_b$ = 0\\
$\hat{R}_{ab} = 2\left(d\hat{\omega}_{ab} - \hat{\omega}_{ac}\wedge 
\hat{\omega}_{bc}\right)$
\item Для метрики \ref{item:2}:\\
\label{item:3}
$\hat{e}_0 = \sqrt{f}\, dt$ \hspace{8mm} $\hat{e}_1 = \sqrt{h}\, dr$
  \\
$\hat{e}_2 = rd\theta$ \hspace{12mm} $\hat{e}_3 = r\sin\theta d\phi$ \\
$\hat{\omega}_{01} =
  -\displaystyle\frac{f'dt}{2\sqrt{fh}}$ \hspace{5mm}
$\hat{\omega}_{12} =
  \displaystyle\frac{d\theta}{\sqrt{h}}$\\
$\hat{\omega}_{13} =
  \displaystyle\frac{\sin\theta}{\sqrt{h}} d\phi$ \hspace{5mm}
$\hat{\omega}_{23} =
  \cos\theta d\phi$\\
$\hat{R}_{01} = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{fh}} \left(
  \frac{f'}{\sqrt{fh}} \right)'\,\hat{e}^0\wedge \hat{e}^1$ \\
$\hat{R}_{02} = -\displaystyle \frac{f'}{rfh} \,\hat{e}^0\wedge
  \hat{e}^2$\\
$\hat{R}_{03} = -\displaystyle \frac{f'}{rfh} \,\hat{e}^0\wedge
  \hat{e}^3$\\
$\hat{R}_{12} = -\displaystyle \frac{h'}{rh^2} \,\hat{e}^1\wedge
  \hat{e}^2$\\
$\hat{R}_{13} = -\displaystyle \frac{h'}{rh^2} \,\hat{e}^1\wedge
  \hat{e}^3$\\
$\hat{R}_{23} = -\displaystyle \frac{2}{r^2}\left(
  1-\frac1{h}\right)\,\hat{e}^2\wedge 
  \hat{e}^3$\\
$R_{00} = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{fh}}\left(\frac{f'}{\sqrt{fh}}\right)' +
  \frac{f'}{rfh}$\\
$R_{11} =
  -\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{fh}}\left(\frac{f'}{\sqrt{fh}}\right)'
  +  \frac{h'}{rh^2}$\\
$R_{22} = R_{33} = 
  -\displaystyle\frac{f'}{2rfh} +  \frac{h'}{2rh^2} +
  \frac1{r^2} \left(1-\frac{1}{h}\right)$
\item Решение в пустоте:\\
$f(r) = 1/h(r) = 1 - 2M/r$\\
$R_S = 2M = 3 \mbox{км}\cdot(M/M_{sun})$ 
\item Звезда:\\
\label{item:5}
$T_{\mu\nu} = (p+\rho)u^\mu u^\nu  - p g_{\mu\nu}$\\
$u^\mu = e_0^\mu$\\
$h(r) = \left[1- \displaystyle\frac{2m(r)}{r}\right]^{-1}$\\
$m(r) = 4\pi \int_0^{r} \rho(r') r'^2 dr'$\\
$\Phi'\equiv\displaystyle\frac{f'}{2f} = \frac{m(r) + 4\pi p(r)
  r^3}{r\left[r-2m(r)\right]}$\\
$p' = -(p+\rho)\,\displaystyle \frac{m(r) + 4\pi
  p(r)r^3}{r[r-2m(r)]}$
\item Ограничения на звезду:\\
$M \leq 4R/9$
\end{enumerate}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\onecolumn
\section*{Задачи}
\begin{enumerate}
\item Показать, что коммутатор векторных полей --- векторное поле с
  координатами
$$
[\hat{A},\hat{B}]^\mu = A^\nu \partial_\nu B^\mu - A^\nu \partial_\nu
B^\mu = A^\nu D_\nu B^\mu - A^\nu D_\nu B^\mu\;.
$$
\item Пусть поля ${Y}_a^\mu(x)$, $a=1\dots 4$, образуют базис в каждой
  точке пространства--времени. Тогда соответствующие операторы
  $\hat{Y}_a$ образуют алгебру Ли. Вычислить структурные константы.
\item Проверить, что вычисленные в п.~\ref{item:4} компоненты
  связности и тензора кривизны параметрически велики по сравнению с
  остальными компонентами.
\item Доказать \ref{item:1}.
\item Показать, что $\pounds_A \hat{B} = [\hat{A},\hat{B}]$.
\item Показать, что коммутатор векторов Киллинга -- вектор Киллинга.
\item Найти векторы Киллинга, соответствующие вращениям
  $\mathbb{R}^3$. Показать, что они образуют алгебру $so(3)$.
\item Показать, что единственная сферически--симметричная двумерная
  метрика --- метрика сферы.
\item Вычислить \ref{item:3}.
\item Получить выражение для радиуса Шварцшильда в системе СГС.
\item Проверить, что закон сохранения $D_a T_{ab}=0$ дает последнее
  из уравнений \ref{item:5}.
\item Решить уравнения \ref{item:5} для несжимаемой звезды
$$
\rho(r) = \left\{\begin{array}{l}\rho_0 \;, r<R\;, \\ 0\;,
r>R\;.\end{array} \right.
$$
Показать, что решение отсутствует при $M>4R/9$, где
$M$--гравитационная масса звезды.
\item Вывести ограничение 
$$
m_0 \leq \frac29 r_0 \left[1-6\pi p_0 r_0^2 + (1+6\pi p_0
    r_0^2)^{1/2}\right]
$$
для кора звезды размера $r_0$ и массы $m_0$; $p_0 = p(r_0)$. 
\end{enumerate}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Wald} R.M. Wald, ``General relativity,'' Univ. Chicago press,
  1984.
\bibitem{Misner} Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, <<Гравитация>>, Мир,
  1977.
\bibitem{Landau} Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, <<Курс теоретической
  физики>>, т. 2.
\end{thebibliography}
\end{document}
