\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{graphicx}


\begin{document}
\centerline{\sf \LARGE ОТО, 8 семестр.}
 \centerline{\sf \LARGE Задачи к экзамену -- 2011}
\vspace{1cm}

\noindent
{\bf \large 1. Квантовая космология}\\
Рассмотрим замкнутую Вселенную с положительной космологической
постоянной.
\begin{enumerate}
\item Выписать наиболее общий пространственно однородный и изотропный
  анзац для $g_{\mu\nu}$, подставить его в действие ОТО. Показать, что
  уравнения движения, следующие из полученного редуцированного
  действия, эквивалентны уравнению Фридмана для замкнутой Вселенной.
\item Проквантовать редуцированную модель. Найти волновую функцию
  Вселенной в квазиклассическом приближении. При каких условиях это
  приближение применимо?
\item Что такое время?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent
{\bf \large 2. Многомерные гравитоны}\\
Рассмотрим линеаризованную ОТО в $D$--мерии.
\begin{enumerate}
\item Найти тензоры энергии--импульса и момента. Меняются ли они при
  калибровочных преобразованиях?
\item Проквантовать модель. Найти число поляризационных
  состояний гравитона и соответствующие квантовые числа (энергию,
  импульс и аналог спина). Отдельно рассмотреть случаи четного и
  нечетного числа измерений.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent
{\bf \large 3. Редукция на сферу}\\
Рассмотрим минимально взаимодействующие электромагнитное и
гравитационное поля в $D=6$. Также рассмотрим многообразие ${\cal B} =
{\cal M}_4\times {\cal S}^2$, где ${\cal M}_4$~--- четырехмерное
пространство Минковского, ${\cal S}^2$~--- двумерная сфера.
\begin{enumerate}
\item При каких значениях радиуса  ${\cal S}^2$ многообразие ${\cal
  B}$ является 
  решением уравнений Эйнштейна--Максвелла?
\item Найти векторы Киллинга ${\cal B}$. Какую алгебру они образуют?
\item Рассмотрим линейные возмущения на фоне ${\cal B}$. Найти
  четырехмерно безмассовые моды, т.е. решения линеаризованных
  уравнений, для которых квадрат четырех-импульса равен
  нулю. Показать, что эти моды образуют калибровочную теорию с группой
  $SU(2)$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 4. Массивная гравитация: патологические случаи}\\
Добавим к действию ОТО член
$$
S_m = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \left[ -\frac{m^2}{4}\, h_{\mu\nu}
  h_{\lambda\rho}\eta^{\mu\lambda} \eta^{\nu\rho}  + \frac{\alpha}{4}
  \left(h_{\mu\nu} \eta^{\mu\nu}\right)^2\right]\;,
$$
где $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}$, $\eta_{\mu\nu} =
\mbox{diag}(1,\, -1,\, -1,\, -1)$. 
\begin{enumerate}
\item Выписать лагранжиан линейных возмущений на фоне пространства
  Минковского. Показать, что $m$ --- масса гравитона.
\item Найти количество поляризационных состояний.
\item При каких значениях $\alpha$ энергия гравитационных волн
  ограничена снизу?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 5. Массивная гравитация: экспериментальная проверка}\\
Рассмотрим модель из предыдущей задачи. Положим $\alpha = m^2$. Далее
будем работать в линейном приближении по $h_{\mu\nu} \ll 1$. 
\begin{enumerate}
\item Найти гравитационное поле вне сферически--симметричной звезды
  массы $M$. Существует ли предел этого решения при $m\to 0$?
  Выполняется ли закон Ньютона? Отдельно
  рассмотреть случай точечного источника.
\item Используя экспериментальные данные по отклонению лучей света 
  вблизи Солнца, поставить ограничение на $m$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 6. Быстро летящая черная дыра}\\
Рассмотрим черную дыру массы $M$.
\begin{enumerate}
\item Показать, что метрику Швардшильда можно преобразовать к виду
$$
ds^2 = A(\rho) dt^2 - B(\rho) (dx^2 + dy^2 + dz^2)\;,
$$
где $\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2$. Найти $A$ и $B$. 
\item С помощью преобразования Лоренца получить метрику черной дыры,
  движущейся с постоянной скоростью $v$.
\item Рассмотрим предел $v\to 1$ при фиксированной кинетической
  энергии ${E = M/\sqrt{1-v^2}}$. Подобрать преобразование координат
  таким образом, чтобы предельная метрика содержала только
  $\delta$--функциональную особенность. 
\item Найти светоподобные геодезические в полученной
  метрике. Предложить способ экспериментального обнаружения быстро
  летящих черных дыр.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 7. Доменная стенка в пространстве АдС}\\
Пятимерное пространство Анти--де--Ситтера обладает метрикой 
\begin{equation}
\label{eq:1}
ds^2 = \mathrm{e}^{-2kz}\,\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu-dz^2\;,
\end{equation}
где $k$ называется радиусом АдС.

Рассмотрим теорию гравитирующего скаларного поля $\Phi$ в $D=5$
измерениях:
$$
S = \int d^5x \sqrt{-g} \left[-\frac{R}{2\kappa} + \frac12 g^{MN}
  \partial_M \Phi \partial_N \Phi - U(\Phi)\right]\;,
$$
где $\kappa$ --- пятимерная постоянная Ньютона; потенциал поля равен
$$
U(\Phi) = \frac{\lambda}{4} (\Phi^2 - v^2)^2 -
\frac{\kappa\lambda}{27}\Phi^2 (\Phi^2 - 3v^2)^2\;.
$$
\begin{enumerate}
\item Найти самосогласованное решение уравнений ОТО и уравнений поля
  --- гравитирующую доменную стенку.
  Далее будем считать, что стенка находится при $z\approx 0$.
\item Показать, что метрика доменной стенки
  стремится к (\ref{eq:1}) при $z\to +\infty$. Таким образом, стенка
  погружена в АдС. Какая метрика получается при $z\to -\infty$?
\item Показать, что в пределе исчезающе малой тощины стенка
  превращается во времениподобную оболочку, удовлетворяющую условиям 
  Израэля.
\item Показать, что в спектре малых возмущений на фоне бесконечно
  тонкой стенки 
  присутствует безмассовая тензорная мода.\\
  {\it Примечание.} Безмассовой тензорной модой назовем возмущение 
  $h_{AB}(x,z)$, удовлетворяющее 
  $$
  h_{55} = h_{5\mu} = \partial^\mu h_{\mu\nu} = h^\mu_\mu = 0\;, \qquad
  \partial_\mu\partial^\mu h_{\lambda\rho} = 0\;.
  $$
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 8. Черная струна в бранном мире}\\
Добро пожаловать в бранный мир Рэндалл--Сандрума,
обладающий метрикой 
\begin{equation}
\label{eq:2}
ds^2 = \mathrm{e}^{-k|z|}\,\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu - dz^2\;.
\end{equation}
Здесь $x^\mu$ --- обычные четырехмерные координаты, $z$ --- координата
вдоль дополнительного измерения.
\begin{enumerate}
\item Показать, что при $z\ne 0$ метрика~(\ref{eq:2}) удовлетворяет
  уравнениям Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной
  $\Lambda_5$. Показать, что в плоскости $z=0$ находится бесконечно
  тонкая оболочка,  найти ее тензор энергии--импульса. 
\item Является ли пространство (\ref{eq:2}) геодезически полным?
\item Найти черную струну, погруженную в пространство (\ref{eq:2})
  --- статическое сферически--симметричное решение уравнений ОТО,
  вытянутое вдоль дополнительного измерения. Для четырехмерного
  наблюдателя такая струна будет неотличима от черной дыры.
\item Показать, что струна сингулярна.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 9. Фотонная звезда}\\
Рассмотрим звезду с уравнением состояния
\begin{equation}
\label{eq:3}
p=w \rho\;, \qquad\qquad \mbox{где}\qquad w=1/3\;.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Найти точное сингулярное решение уравнения
  Толмана--Волкова--Оппенхеймера, а также решения, близкие к
  сингулярному. 
\item Пусть уравнение состояния (\ref{eq:3}) выполняется в области
  $\rho_1 < \rho < \rho_0$, где при $\rho=\rho_1$ расположена тонкая
  безмассовая оболочка звезды, а $\rho>\rho_2$ соответствует плотной
  сердцевине радиуса $r_0$ и массы $m_0$. Найти гравитационную массу
  звезды, считая, что $r_0$ крайне мало, а $\rho_0 \sim 1/r_0^2$. 
\item Найти массу звезды численно при $\rho_0 \ll 1/r_0^2$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 10. Камикадзе против черной дыры}\\
Бесконечный набор камикадзе падает на черную дыру по времениподобным
геодезическим, стартующим из бесконечности с нулевой начальной
скоростью. Далее будем считать, что массы камикадзе равны нулю, а их
геодезические образуют конгруэнцию.

Введем скалярные поля $\psi_i$, взаимодействующие с камикадзе
следующим образом:
$$
S_i = \frac12\int \sqrt{-g} \, d^4 x \left[(\partial_\mu \psi_i)^2 +
  \epsilon_i (u^\mu \partial_\mu \psi_i)^2\right]\;,
$$
где $u^{\mu}$ --- скорость камикадзе, $\epsilon_i$ --- свободные
параметры.
\begin{enumerate}
\item Вычислить спектр излучения черной дыры для полей
  $\psi_i$. Является ли он планковским?
\item Используя $\psi_i$, построить вечный двигатель второго рода.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 11. Статическое пространство}\\
Дано статическое сферически--симметричное пространство
\begin{equation}
\label{eq:4}
ds^2 = f(r)\,dt^2 - \frac{dr^2}{f(r)} - r^2 d\Omega^2\;, \qquad
\mbox{где}\;\;\; f(r) = 1-(kr)^2\;.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Показать, что пространство (\ref{eq:4}) не является геодезически
  полным. 
\item Рассматривая радиальные светоподобные геодезические, ввести
  координаты, покрывающие все пространство.
\item Предложить физическую интерпретацию метрики (\ref{eq:4}).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 12. Космологические решения}
\begin{enumerate}
\item Нарисовать диаграммы Пенроуза для космологических
  решений. Рассмотреть случаи открытой, замкнутой и плоской
  Вселенных на материальной и радиационно--доминированной стадиях, а
  также на стадии ускоренного расширения.
\item Обозначить на диаграммах горизонты частиц и горизонты событий
  для различных наблюдателей.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf \large 13. Глухая дыра}\\
Рассмотрим одномерную жидкость, стационарно сливающуюся в сток со
скоростью $v(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Выписать уравнение, описывающее акустические колебания в
  жидкости. Для простоты полагать, что скорость звука 
  постоянна.
\item При каких условиях присутствует глухая дыра --- область
  пространства, звуки из которой не доносятся до удаленного
  наблюдателя?
\item Вычислить спектр фононов, испускаемых глухой дырой. \\
  {\it Примечание.} Фононом называется квант звука.
\end{enumerate}

\end{document}
