%%%%%%%%%%%%% TEMPLATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,graphicx}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{fullpage}
\def\const{\mbox{const}}
\def\e{{\rm e}}
\def\al{\alpha}
\def\eps{\epsilon}
\def\d{\partial}
\def\l{\left(}
\def\r{\right)}
\def\la{\langle }
\def\ra{\rangle }
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\bg}{\begin{gather}}
\newcommand{\eg}{\end{gather}}
\newcommand{\bseq}{\begin{subequations}}
\newcommand{\eseq}{\end{subequations}}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\renewcommand{\ln}{\mathop{\rm ln}\nolimits}
\newcommand{\sm}[1]{{\scriptscriptstyle \rm #1}}
\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}}
\def\half{\frac{1}{2}}
\newcommand{\eq}[1]{(\ref{#1})}
\newcommand{\goe}{\gtrsim}
\newcommand{\loe}{\lesssim}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\sfrac}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}}
\begin{document}

\centerline{\sf \LARGE Квантовая теория поля - 4 курс, весенний
  семестр}
 \centerline{\sf \LARGE Задачи к зачету -- 2010}
\vspace{1cm}

{\bf Примечание.} Если явно не оговорено, то температура и плотность
равны нулю.

\begin{enumerate}
\item {\bf Модель на сфере.}\\
  Рассмотрим теорию двух скалярных полей на 3-сфере радиуса
  $r$ в минковском времени. Древесный скалярный потенциал имеет вид
  \[
  V(\phi, \chi) = h^2 \phi^2 \chi^2 + \frac{\lambda}{4}
  (\phi^2 - v^2)^2\;.
  \]
  Найти однопетлевой вклад в эффективный потенциал поля $\phi$,
  который дает поле $\chi$. Считать, что $\lambda \ll h^2 \ll 1$, 
  тогда этот и древесный вклады --- главные. Происходит ли
  восстановление симметрии при малых $r$?
\item {\bf Модель c фермионами на сфере.}\\
  То же, что в первой задаче, но вместо поля $\chi$ расссмотреть
  фермионное поле $\psi$, взаимодействующее юкавским образом:
  \[
  {\cal L}_{\psi\phi} = h \bar{\psi} \psi \phi
  \]
\item {\bf Модель на гиперболоиде.}\\
  То же, что в первой задаче, но на 3--гиперболоиде радиуса
  кривизны $r$. 
\item {\bf Дебаевский радиус.}\\
  Методами теории поля
  найти дебаевский радиус в электронейтральной среде
  релятивистских электронов и нерелятивистских протонов
  с заданной плотностью $n_p=n_e$ при нулевой температуре.
\item {\bf Термодинамический потенциал в $(1+1)$--мерной модели.}\\
  Найти в низшем нетривиальном порядке по полю однопетлевой вклад в
  большой термодинамический потенциал фермионов во внешнем
  статическом поле
  $A_1 (x^1)$ при конечных температуре и плотности фермионного числа
  в (1+1)-мерной теории с безмассовыми фермионами и взаимодействием
  \[
  {\cal L}_{\psi A} = g \bar{\psi} \gamma^\mu \gamma^3 \psi A_\mu \; ,
  \]
  где $\gamma^3$ --- двумерный аналог $\gamma^5$-матрицы.
\item {\bf Аномалия в квантовой механике.}\\
  Рассмотрим трехмерную нерелятивистскую частицу в сферически--симметричном
  потенциале 
  \begin{equation}
    \label{eq:3}
    V(r) = -\frac{\beta}{r^2}\;.
  \end{equation}
  \begin{enumerate}
  \item Показать, что уравнение Шредингера, описывающее движение такой
    частицы, инвариантно относительно дилатационных преобразований
    $r\to \lambda r$. Какой вывод можно сделать про дискретную часть
    спектра в модели (\ref{eq:3})?
  \item Пусть потенциал (\ref{eq:3}) регуляризован при $r\approx
    0$. Найти энергии и волновые функции высоколежащих состояний c
    орбитальным моментом $l$.\\ 
    {\it Примечание.} Под высоколежащими
    состояниями здесь  понимаются состояния, не локализованные в
    <<регуляризованной>> области $r\approx 0$.
  \end{enumerate}
\item {\bf Фотон в модели Швингера.}\\
  Найти пропагатор фотона во всех порядках теории возмущений
  в квантовой электродинамике с безмассовыми фермионами
  в $(1+1)$--мерном пространстве-времени. Дать интерпретацию полученному
  результату в терминах аксиальной аномалии.\\
  {\it  Указание:} использовать
  калибровку $\partial_\mu A^\mu =0$.
\item {\bf Бозонная струна в искривленном пространстве--времени.}\\
Рассмотрим бозонную струну, распространяющуюся в пространстве--времени с
метрикой $G_{AB}(X)$. Действие модели запишем в виде 
\begin{equation}
\label{eq:1}
S = \frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2 \sigma \sqrt{-h}\, 
h^{\alpha\beta} \partial_\alpha X^A \partial_\beta  X^B G_{AB}(X)\;.
\end{equation}
Здесь $h_{\alpha\beta}(\sigma)$ и $\sigma_\alpha$ --- метрика и
координаты на мировой поверхности струны соответственно; $\alpha =
0,\, 1$. Поля $X^A(\sigma)$, $A = 0,\dots, 25$ представляют собой
координаты струны в объемлющем пространстве. 
\begin{enumerate}
  \item Найти размерности полей и константы $\alpha'$.
  \item Показать, что с помощью калибровочных преобразований метрику
    на поверхности струны можно привести к виду
    \begin{equation}
      \label{eq:2}
    h_{\alpha\beta} = \mathrm{e}^{2\varphi(\sigma)} \eta_{\alpha\beta}\;.
    \end{equation}
    Будем называть (\ref{eq:2}) конформной калибровкой. 
  \item Проверить, что в конформной калибровке действие (\ref{eq:1})
    не зависит от $\varphi$. Таким образом, преобразование
    $h_{\alpha\beta} \to \Lambda^2(\sigma) h_{\alpha\beta}$ является
    калибровочной симметрией теории. Будем называть ее вейлевской
    симметрией.
  \item Показать, что размерная регуляризация разрушает вейлевскую
    инвариантность. Это означает, что в модели (\ref{eq:1}), вообще
    говоря, присутствует калибровочная аномалия, что говорит о
    внутренней противоречивости теории. 
   
    {\it Указание.} Выписать действие для струны с
    $d$--мерной мировой поверхностью в калибровке (\ref{eq:2}).
  \item Вычислить однопетлевое эффективное действие в
    конформной калибровке. Показать, что возникающие при этом
    расходимости можно убрать перенормировкой волновой функции $X^A
    \to V^A + M^{A}_B X^B$, где $M_B^A$ и $V^A$ --- бесконечные
    матрица и вектор.

   {\it Указание 1.} Воспользоваться методом фонового
   поля: $X^A(\sigma) = Y^A(\sigma) + x^A(\sigma)$, где $Y^A(\sigma)$
   ---
   фоновые поля, удовлетворяющие классическим уравнениям поля, а
   $x^A(\sigma)$ --- квантовые возмущения.

   {\it Указание 2.} Для простоты считать, что фоновые поля
   почти постоянны: $Y^A(\sigma) = Y_0^A  + y^A(x)$, $y^A \ll
   Y_0^A$. В этом случае можно вычислить лишь часть эффективного
   действия, квадратичную по полям $y$, а затем догадаться до полного
   (ковариантного) эффективного действия. 

   {\it Указание 3.} Проще всего использовать гауссовы нормальные
   координаты $X^A$ с центром в точке $X^A = Y^A_0$.
  \item Каким условиям должна удовлетворять метрика
    $G_{AB}$, чтобы эффективное действие не зависело от $\varphi$?
\end{enumerate}
\item {\bf Гравитационная киральная аномалия.}\\
  Рассмотрим четырехмерные безмассовые фермионы в искривленном
  пространстве--времени с метрикой $g_{\mu\nu}$.
  \begin{enumerate}
    \item Показать, что действие модели инвариантно относительно
      киральных преобразований $\psi \to \mathrm{e}^{i\alpha \gamma_5}
      \psi$.
    \item Рассматривая функциональный интеграл для фермионов,
      вычислить гравитационный вклад в киральную аномалию. \\
      {\it Подсказка 1.} Для вычислений в окрестности некоторой
      точки $x=x_0$ удобно использовать гауссову нормальную систему
      координат, где
      $$
      e_\mu^{a}(x_0) = \delta_\mu^a\;, \qquad\qquad \nabla_\nu
        e_\mu^{a}\Big|_{x=x_0}  = 0\;,  \qquad\qquad \left(\nabla_\lambda
          \nabla_\nu + \nabla_\nu \nabla_\lambda
        \right)e_\mu^{a}\Big|_{x=x_0}  = 0\;,
      $$
      $e_\mu^a(x)$ --- тетрада. Покажите, что такая система координат
      существует.\\
      {\it Подсказка 2.} Полезно научиться вычислять матричный элемент
      $$
      Z = \int dx\, \langle x| \mathrm{e}^{-H} |x\rangle\;, \qquad
      \qquad \mbox{где} \qquad H = (-i\partial_\mu + A_{\mu\nu} x^\nu)^2\;,
      $$
      где $A_{\mu\nu}$ --- маленькие константы. Это можно сделать,
      вообразив, к примеру, что оператор $H$ является гамильтонианом
      нерелятивистской частицы, а $Z$ --- аналогом статистической
      суммы. Тогда $Z$ можно вычислить методом функционального
      интеграла.
  \end{enumerate}
  \item {\bf Сумасшедшие ученые в темноте.}\\
    Рассмотрим КХД с двумя кварками, $u$ и $d$, массы которых равны
    $m_u$ и $m_d$ соотвественно. Вообще говоря, лагранжиан содержит
    также $\theta$--член, связанный с наличием $\theta$--вакуума,
    $$
    {\cal L}_\theta = \frac{\theta}{16\pi^2} \mathrm{tr}\,
    G_{\mu\nu}\tilde{G}_{\mu\nu}\;,
    $$
    где $G_{\mu\nu}$ --- напряженность глюонного поля. Из общих
    соображений можно ожидать, что $\theta\sim 1$. Однако,
    экспериментальные результаты говорят об обратном: $\theta_{ex} <
    10^{-9}$. Это неожиданно маленькое значение параметра модели можно
    объяснить, добавив в модель псевдоскалярную частицу --- аксион:
    $$
    {\cal L}_a = \frac12 (\partial_\mu a)^2 + \frac{a(x)}{f_a} \,\mathrm{tr}\,
    G_{\mu\nu}\tilde{G}_{\mu\nu}\;,
    $$
    где $f_a$ характеризует взаимодействие аксиона с глюонным полем. 
    Рассмотрим теорию с лагранжианом ${\cal L} = {\cal
      L}_{QCD} + {\cal L}_\theta + {\cal L}_{a}$.
    \begin{enumerate}
      \item Показать, что в случае, когда масса одного из кварков
        равна нулю,
        функциональный интеграл теории инвариантен относительно
        глобальных преобразований $a(x) \to a(x) + \alpha$, дополненных
        соответствующими преобразованиями других полей.
      \item В первом неисчезающем порядке по $1/f_a$ и считая, что
        $m_{u},\, m_d \ll \mu$, найти эффективный потенциал поля
        аксиона. Здесь 
        $$
        \mu^3 = -\langle \bar{u}u \rangle = -\langle \bar{d} d\rangle
        $$
        обозначает (известный) кварковый конденсат. Найти вакуумы
        модели и массу аксиона. Показать, что введение аксионного поля
        позволяет решить проблему большого $\theta$--члена.\\
        {\it Замечание.} КХД находится в сильной связи, поэтому
        для нахождения эффективного потенциала нельзя использовать
        разложение по константе сильных взаимодействий. Вместо этого
        предлагается воспользоваться феноменологически известным
        значением кваркового конденсата и соотношением $\langle
        \bar{u}\gamma^5 u\rangle = \langle \bar{d} \gamma^5d\rangle =
        0$. 
      \item Добавим в модель электромагнитное поле, где заряд аксиона на
        древесном уровне считается равным нулю. В главном порядке по
        $1/f_a$ найти лагранжиан взаимодействия аксиона с электромагнитным
        полем. 
      \item Представим себе следующий эксперимент. Луч лазера светит в
        непроницаемую стену, за которой в кромешной тьме сидят сумасшедшие
        ученые и пытаются что--то разглядеть. Экспериментальная установка
        (лазер + ученые) помещена в однородное магнитное поле. Используя
        эффективный лагранжиан для аксионного поля, найти вероятность
        того, что ученые увидят зеленых человечков.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
