\documentclass[12pt,a4paper,russian]{article}

\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumerate}

\topmargin -0.4cm
\headsep=0.0cm
\headheight=0.0cm
\textheight 24.6cm
\oddsidemargin -0.3cm
\evensidemargin -0.3cm
\textwidth 15.9cm

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{flushright}
\it Задачи к семинарам по курсу \\
``Численные методы'' для 443 группы\\
кафедры физики частиц и космологии
\end{flushright}

\newcommand{\lnum}{2}
\begin{center}
к лекции {\lnum} ``Методы решения задач линейной алгебры'' 
\end{center}

\renewcommand{\labelenumi}{{\bf \lnum.\arabic{enumi}}}
\begin{enumerate}

\item Оценить ошибку округления при решении невырожденной системы
  линейных уравнений двумя способами:
\begin{itemize}
\item методом Гаусса-Жордана
\item используя обратную матрицу, вычисленную методом Гаусса-Жордана
\end{itemize}

\item Оценить сложность алгоритма и ошибку округления при вычислении
  определителя матрицы двумя способами:
\begin{itemize}
\item по определению
\item методом Гаусса-Жордана
\end{itemize}

\item Сравнить сложность алгоритма Гаусса-Жордана и LU-разложения для
  решения следующих задач:
\begin{itemize}
\item вычисление определителя
\item вычисление обратной матрицы
\item решение уравнения $A~x = b$
\item решение уравнения $A~x = b^i$ для M различных правых частей $b^i$
\end{itemize}

\item Получить формулы для LU-разложения трехдиагональной
  матрицы. Оценить сложность алгоритма.

\item Для сингулярного разложения квадратной матрицы $A =
  U~\mathrm{diag}(w_j)~V^+$ доказать, что:
\begin{itemize}
  \item столбцы матрицы $U$ соответствующие ненулевым сингулярным
    числам образуют ортонормированный базис в $\mathrm{Im}~A$;
  \item столбцы матрицы $V$ соответствующие нулевым сингулярным
    числам образуют ортонормированный базис в $\mathrm{Ker}~A$;
  \item пусть $b \in \mathrm{Im}~A$. Определим псевдообратную матрицу
  $\tilde A = V~\mathrm{diag}(1/w_j)~U^+$. Показать, что $x = \tilde
  A~b$ является решением уравнения $A~x = b$ с наименьшей нормой, если
  в выражении для $\tilde A$ заменить нулями все $1/w_j$ для нулевых
  сингулярных чисел;
  \item пусть $b \notin \mathrm{Im}~A$. Показать, что решение $x$,
  определенное в предыдущем пункте, минимизирует $|Ax - b|^2$.
\end{itemize}


\end{enumerate}

\end{document}