\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
%\usepackage{axodraw}
\textwidth16.0cm
\textheight24.0cm
\setlength{\topmargin}{-1.5cm} % war -0.5cm
\oddsidemargin 0.cm
\evensidemargin 0.cm
\def\l{\left}
\def\r{\right}
\def\lem{-{1\over 4}F_{\mu\nu} F_{\mu\nu}}
\def\half{{1\over 2}}
\def\L{{\cal{L}}}
\def\x{{\bf x}}
\def\e{{\rm e}}
\def\d{\partial}
\def\Tr{{\rm Tr}}
\def\Dm{D_\mu }
\def\dm{\partial_\mu }

\begin{document}

\begin{center}
\large Задачи к экзамену по спецкурсу ``Квантовая теория поля'' для 5
курса физического факультета МГУ, осенний семестр 2009 г.
\end{center}

\begin{enumerate}

\item {\bf Майорановские нейтрино}

а) Убедиться, что спиральность сохраняется при эволюции
  ультрарелятивистских майорановских нейтрино. Показать, что в пределе
  $m/E \rightarrow 0$, состояние с левой спиральностью совпадает с
  нейстрино, а состояние с правой спиральностью --- с антинейтрино.

б) Убедиться, что в ультрарелятивистском случае, недиагональная
майорановская массовая матрица приводит к осцилляциям между
состояниями только левой или только правой спиральности.

\item {\bf Бета-функция для константы самодействия}

Вычислить бета-функцию для константы самодействия бозона Хиггса
$\beta_{\lambda}$ в Стандартной Модели в одной петле

\item {\bf Унитарный предел для массы Хиггса}

Найти ограничение сверху на массу бозона Хиггса из условия унитарности
амплитуды процесса рассеяния $W^+W^- \rightarrow W^+W^-$ в древесном
приближении в Стандартной Модели.

\item {\bf Аксион-фотонные осцилляции}

Добавим в лагранжиан КЭД взаимодействие со псевдоскалярным полем $a$
(``аксионом'') следующего вида
\begin{equation}
{\cal L}_{\rm int} = \frac{1}{f_{a}}aF_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}.
\end{equation}
Показать, что в постоянном однородном магнитном поле $\vec{H}$
``аксион'' будет испытывать осцилляции в фотон $a\to\gamma$ и
обратно. Найти длину этих осцилляций в ультрарелятивистском
приближении, считая магнитное поле достаточно малым.

\item {\bf Аномалия в аксиальном токе }

Используя уравнение для аномалии в аксиольном токе
\begin{equation}
\partial^{\mu}\left[\bar{q}\gamma_{\mu}\gamma_{5}q\right] =
2im_{q}\bar{q}\gamma_{5}q 
+ \frac{g^{2}}{8\pi}{\rm Tr}G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu},
\end{equation}
где $G_{\mu}$ --- напряженность глюонного поля, а $g$ --- калибровочная
константа сильных взаимодействий и ограничиваясь двумя 
типами кварков $u$ и $d$, оценить в киральной теории матричные элементы
$\langle 0|\frac{g^{2}}{8\pi}{\rm Tr}G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}|\pi^{\pm}\rangle$
и
$\langle 0|\frac{g^{2}}{8\pi}{\rm Tr}G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}|\pi^{0}\rangle$.

\item {\bf CP-нарушение в Стандартной Модели }

 Показать, что в Стандартной Модели при наличии CP-нарушения
бозоны $K^{0}$ и $\bar{K}^{0}$ уже не являются массовыми состояниями.
Оценить амплитуду перехода $K^{0}$ в $\bar{K}^{0}$ в Стандартной модели.
Оценить разность масс массовых состояний каонов в киральной теории.


\item {\bf Солитоны в скалярной теории поля на некоммутативной
  сфере (fuzzy sphere).}

\newcommand{\D}{\partial}

Рассмотрим пространство $\mathbb{R}^3$ с координатами $x^a, a=1,2,3$ и
евклидовой метрикой $g_{ab} = \delta_{ab}$
[Madore,Class.Quant.Grav.9:69-88,1992]. Рассмотрим сферу
$\mathrm{S}^2$
\begin{equation}
\label{s2}
  g_{ab}~x^ax^b = r^2.
\end{equation}
Пусть $\mathcal{C}(\mathrm{S}^2)$ алгебра комплекснозначных
функций на сфере, которая допускает полиномиальное разложение по
$x^a$
\begin{equation*}
\label{fxa}
  f(x^a) = f_0 + f_a x^a + \frac{1}{2} f_{a_1a_2} x^{a_1} x^{a_2}
  + ...
\end{equation*}
Оборвем разложение до $(n-1)$-ой степени
\begin{equation}
\label{fxat}
  f(x^a) = f_0 + f_a x^a + \frac{1}{2} f_{a_1a_2} x^{a_1} x^{a_2}
  + ... + \frac{1}{(n-1)!} f_{a_1a_2..a_{n-1}} x^{a_1}
  x^{a_2}..x^{a_{n-1}}.
\end{equation}
Линейное пространство полиномов $(n-1)$-ой степени назовем
$\mathcal{C}_n(\mathrm{S}^2)$. Тензор $f_{a_1a_2..a_{k}}, 0\leq
k\leq n-1$ можно выбрать симметричным по всем индексам. Свертку
$f_{a_1a_2..a_{k}}$ по любым двум индексам можно выбрать равной 0,
используя (\ref{s2}).

Любой полином вида (\ref{fxat}) можно разложить по базису сферических
функций:
\begin{equation*}
f(x^a) = \sum_{l=0}^{n-1} \sum_{m=-l}^{l} f_{lm}
Y_{lm} (\Omega),~~~~~~~~~~~
f_{lm} = \int \frac{d\Omega}{4 \pi} f(x^a) Y_{lm}^*.
\end{equation*}

Зададим умножение на пространстве  полиномов (\ref{fxat}). Для
этого поставим в соответствие каждому полиному комплексную матрицу
$n\times n$ по следующему правилу: в разложении (\ref{fxat})
заменим $x^a$ на $\hat x^\alpha = \varkappa \hat{J}^a$, где $\hat{J}^a$ генераторы
$n$ - мерного неприводимого представления алгебры $SU(2)$
\begin{equation*}
\label{su2} [\hat{J}^a,\hat{J}^b] = i \varepsilon^{abc} \hat{J}^c.
\end{equation*}
Коэффициент $\varkappa$ выбирается так, чтобы удовлетворялась
связь (\ref{s2}).
\begin{equation*}
\label{kappa1} \varkappa^2 \hat{J}^a \hat{J}^a = r^2 ~~\Rightarrow~~ \varkappa = \frac{2 r}{\sqrt{n^2-1}}.
\end{equation*}

Введем операторы дифференцирования
\begin{equation*} \label{diff} L_a \hat f \equiv [\hat
J_a,\hat f]
\end{equation*}

Запишем действие теории скалярного поля на некоммутативной сфере в виде:


\begin{equation} \label{scalaraction2a}
L(\hat \varphi, \D_t \hat \varphi) = \frac{4 \pi r^2}{n}
\frac{1}{2} \Tr \left( (\D_t \hat \varphi)^2 + \frac{1}{r^2} [\hat
J_a \hat \varphi][\hat J_a \hat \varphi] - g \hat \varphi^2
(\lambda - \frac{2}{3} \hat \varphi) \right).
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Получить действие теории в коммутативном пределе: $n\rightarrow \infty$ при
  фиксированном $r$.
\item Получить действие теории в плоском пределе: $ \label{planelim}
n \rightarrow \infty,~ r^2 = \frac{n \theta}{2} \rightarrow
\infty$, при фиксированном $\theta $.
\item Предположить, что потенциальный член в действии
  \ref{scalaraction2a} доминирует над кинетическим и найти независящие
  от времени решения (солитоны) при произвольном~$n$.
\end{enumerate}



\end{enumerate}

\end{document}
