\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{mathtext,amsmath}

\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dm}{\partial_\mu}
\newcommand{\dmf}{\partial_\mu\phi}
\newcommand{\dn}{\partial_\nu}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\def\half{{1\over 2}}
\def\d{\partial}


\begin{document}

  {\large \bf Задачи по курсу ``Квантовая теория поля''. 
    Аномалии. Функциональные методы. Квантование калибровочных теорий.}
  
  \begin{enumerate}
  \item {\bf Аномальное нарушение масштабной инвариантности.}
    Рассмотрим квантовую электродинамику в $(3+1)$-мерии с одним
    заряженным безмассовым фермионом
    \[
      {\cal L} = -\frac{1}{4}\left(F_{\mu\nu}\right)^2 +
      \bar{\psi}i\gamma_{\mu}(\partial_{\mu} - i{\rm e}A_{\mu})\psi.
    \]
    Теория инвариантна относительно глобальных масштабных
    преобразований 
    \[
    x\to\alpha x, \;\; \psi(x)\to\alpha^{3/2}\psi(\alpha x), \;\;
    A_{\mu}(x)\to\alpha A_{\mu}(\alpha x).
    \]
    Найти классически сохраняющийся ток $j_{\mu}$ и бета-функцию
    $\beta(e)$ в этой теории. Найти выражение для
    $\partial_{\mu}j_{\mu}$ в однопетлевом приближении. 
    
  \item {\bf Вычисление эффективного потенциала}. Рассмотрим теорию
    одного скалярного поля $\phi$ с потенциалом $V(\phi)$ в
    $(3+1)$-мерии. Сделаем в действии сдвиг
    \[
    \phi\to \phi + \phi_0
    \]
    где $\phi_0$ --- величина, не зависящая от координат. Используя
    методы функционального интегрирования показать, что эффективный
    потенциал в однопетлевом приближении может быть вычислен по
    следующей формуле 
    \[
    V^{(1)}(\phi_0) = V_{tree}(\phi_0) -
    \frac{1}{2}i\hbar\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}{\rm ln}\;{\rm
    Det}(i{\cal D}^{-1}(\phi_0,k)),
    \]
    где
    \[
    i{\cal D}^{-1}(\phi_0,k) = \int d^4x {\rm e}^{ikx} i{\cal
    D}^{-1}(\phi,x,0)
    \]
    \[
    i{\cal D}^{-1}(\phi_0,x,y) = \left.\frac{\delta^2
    S}{\delta\phi(x)\delta\phi(y)}\right|_{\phi=\phi_0},
    \]
    $S[\phi]$ - классическое действие. Вычислить однопетлевой
    потенциал в теории $\frac{\lambda}{4!}\phi^4$. Перенормировать,
    сравнить с ответом, полученным на семинаре. 

  \item {\bf Квантовая космология}. Рассмотрим замкнутую ,
  пространственно-однородную вселенную. Метрика $g_{\mu\nu}$ такой
  вселенной может быть записана в виде 
  \[
  g_{\mu\nu} = 
  \left(
  \begin{array}{cc}
  a^2N^2 & 0\\
  0 & -a^2\delta_{ij}
  \end{array}
  \right),
  \]
  где $a(\eta)$ - масштабный фактор (здесь используется конформное
  время), $N(\eta)$ - функция временного сдвига. Действие для
  динамических переменных $a$ и $N$ имеет следующий вид:
  \[
  S = \int d\eta\left(-\frac{\dot{a}^2}{2N} + N(\frac{a^2}{2} -
  \Lambda a^4)\right),
  \]
  где $\Lambda$ --- космологическая постоянная. 
  \begin{itemize}
    \item Построить гамильтонов формализм, найти связи и калибровочную 
    симметрию.
    \item Проквантовать систему в представлении Шредингера,
    накладывая связи 1-го рода на волновую функцию. Показать, что
    выполнено уравнение Уилера-Де Витта
    \[
    H\Psi(a)=0.
    \]
    \item Выписать функциональный интеграл для функций Грина этой
    системы.
    \item {\bf ***} Найти квазиклассические решения уравнения
    Уилера-Де Витта. Показать, что эволюция Вселенной происходит
    согласно уравнению Фридмана.
  \end{itemize}
    
  \item Вычислить однопетлевые $\beta$-функции в калибровочных
    теориях без материи с калибровочными группами $SU(N)$ и $SO(N)$ в
    $3+1$ измерениях. 

  \item Проквантовать канонически электромагнитное поле.

  \item Вывести выражение для пропагатора калибровочного поля в
  калибровке $n_{\mu}A_{\mu}=0,\; n_{\mu}n_{\mu}=1$, $n_{\mu}$ ---
  фиксированный 4-вектор.

  \item Вывести фейнмановские правила для неабелевой калибровочной
  теории, взаимодействующей со скалярным полем в присоединенном
  представлении калибровочной группы. 

  \item Проверить первое нетривиальное тождество Славнова-Тейлора в
  однопетлевом приближении для расходящихся частей при
  калибровочно-инвариантной регуляризации КХД.

 \item Показать, что оптическая теорема выполнена в квантовой
  глюодинамике. Для этого вычислить явно мнимую часть какой-нибудь
  амплитуды рассеяния и соответствующее полное сечение в низшем
  неисчезающем порядке теории возмущений. Показать, что теория
  неунитарна, если не принимать в расчет духовые диаграммы. 
 
 \item Рассмотрим частицу на двумерной сфере:
   \[
    S = \int dt \left( \dot{\bf{x}}^2/2 + \lambda (\bf{x}^2-1)
      \right)\;, 
   \]
    где $\bf{x} \in \mathbb{R}^3$, $\lambda$ - множитель
    Лагранжа. 
    \begin{enumerate}
      \item Выписать лагранжевы и гамильтоновы уравнения движения.
      \item Проквантовать.
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}

\end{document}

% LocalWords:  мерии ij гамильтонов Проквантовать Уилера Витта Фридмана SU SO
% LocalWords:  пропагатора
