\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtext,amsmath}
\usepackage{epic}

\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dm}{\partial_\mu}
\newcommand{\dmf}{\partial_\mu\phi}
\newcommand{\dn}{\partial_\nu}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\def\half{{1\over 2}}
\def\d{\partial}

\topmargin -0.4cm
\headsep=0.0cm
\headheight=0.0cm
\textheight 24.6cm
\oddsidemargin -0.3cm
\evensidemargin -0.3cm
\textwidth 15.9cm


\begin{document}

  {\large \bf Задачи по курсу ``Квантовая теория поля''. 
    Перенормировки. Ренормализационная группа. Оптическая теорема.}

  \begin{enumerate}
    
  \item Рассмотрим скалярную теорию с лагранжианом
    \begin{equation}
      {\cal L}=\frac{1}{2}(\partial _\mu \varphi )^2-\frac{m^2}{2}\varphi
      ^2-\frac{g}{3!}\varphi ^3\;
      \label{f3}
    \end{equation}
    в шести пространственно-временных измерениях.
    \begin{enumerate}
    \item Может ли такая теория претендовать на роль физической теории?
    \item Является ли эта теория перенормируемой? Если нет, то как необходимо
      модифицировать лагранжиан, чтобы она стала таковой.
    \item Перенормировать эту теорию в однопетлевом приближении.
    \end{enumerate}
    
  \item Перенормировать двухпетлевую диаграмму
    
    \unitlength 1.00mm
    \linethickness{0.4pt}
    \begin{picture}(90.00,25.00)(10,120)
      \put(40.00,130.00){\line(1,0){16.00}}
      \bezier{136}(56.00,130.00)(66.00,144.00)(75.00,130.00)
      \bezier{136}(56.00,130.00)(66.00,116.00)(75.00,130.00)
      \put(75.00,130.00){\line(1,0){15.00}}
      \bezier{80}(58.67,133.33)(65.33,126.00)(72.33,133.00)
    \end{picture}

    \noindent
    в теории с лагранжианом (\ref{f3}) в безмассовом пределе в шести
    измерениях.


  \item Перенормировать двухпетлевую диаграмму
    
    \unitlength 1.00mm
    \linethickness{0.4pt}
    \begin{picture}(90.00,25.00)(10,120)
      \put(40.00,130.00){\line(1,0){16.00}}
      \bezier{136}(56.00,130.00)(66.00,144.00)(75.00,130.00)
      \bezier{136}(56.00,130.00)(66.00,116.00)(75.00,130.00)
      \put(75.00,130.00){\line(1,0){15.00}}
      \put(66.00,137.00){\line(0,-1){14.00}}
    \end{picture}

    \noindent
    в теории с лагранжианом (\ref{f3}) в безмассовом пределе в шести
    измерениях.


  \item Перенормировать двухпетлевую диаграмму
    
    \unitlength 1.00mm
    \linethickness{0.4pt}
    \begin{picture}(90.00,25.00)(10,120)
      \put(40.00,130.00){\line(1,0){50.00}}
      \bezier{136}(56.00,130.00)(66.00,144.00)(75.00,130.00)
      \bezier{136}(56.00,130.00)(66.00,116.00)(75.00,130.00)
%      \put(75.00,130.00){\line(1,0){15.00}}
%      \bezier{80}(58.67,133.33)(65.33,126.00)(72.33,133.00)
    \end{picture}

    \noindent
    в теории с лагранжианом $- \frac{\lambda \phi^4}{4!}$ в безмассовом пределе в четырех
    измерениях.

    
  \item Вычислить однопетлевые $\beta$-функции в чисто калибровочных
    теориях с калибровочными группами $SU(N)$ и $SO(N)$ в $3+1$
    измерениях. 
    
  \item Перенормировать скалярную электродинамику, используя
    регуляризацию Паули-Виларса. Убедиться, что в однопетлевом
    приближении калибровочная инвариантность не нарушается. 
    
  \item Явным вычислением проиллюстрировать представление Челлена-Лемана
    для двухточечной функции Грина скалярного поля в теории с
    лагранжианом 
    \begin{equation}
      \label{2}
      {\cal L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^{2} - \frac{m^2}{2}\phi^2 
      + i\bar{\psi}\gamma_{\mu}\partial_{\mu}\psi - M\bar{\psi}\psi 
      - g\phi\bar{\psi}\psi
    \end{equation}
    в однопетлевом приближении в $3+1$-мерии.
    
  \item
    Рассмотреть теорию с лагранжианом (\ref{2}). Является ли теория
    перенормируемой? 
    

  \item Доказать, что теория N скалярных полей с лагранжианом 
    \begin{equation}
      {\cal L} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}(\partial_{\mu}\phi_n)^2 
      - \frac{m^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\phi_{n}^{2} - 
      \frac{\lambda}{4}(\sum_{n=1}^{N}\phi_{n}^{2})^{2}
    \end{equation}
    является перенормируемой в 4 измерениях.

\item Перенормируема ли теория $\phi^6$ в $D=3$?

\item Найти явно структуру и коэффициенты для контрчленов в
однопетлевом приближении в теории
$\phi^3$ в 4-мерии и пропагаторных диаграмм в ней в двухпетлевом
приближении.


\item Добавим к лагранжиану квантовой электродинамики взаимодействие
фермиона с нейтральным скалярным полем:
\begin{equation}
  {\cal L}_{int} = -g\phi\bar{\psi}\psi.
\end{equation}
Изменятся ли тождества Уорда КЭД. Найти однопетлевую
$\beta$-функцию для электрического заряда в однопетлевом
приближении. 

\item Найти связь между полным сечением аннигиляции
  $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ и вкладом мюонов в поляризационный оператор
  фотона в низшем неисчезающем порядке теории
  возмущений. Продемонстрировать явным вычислением, что эта связь
  выполняется.

\item Найти длину свободного пробега и ``глубину проникновения'' 
(расстояние, на котором теряется заметная доля энергии) протонов с
энергией в интервале 
$10^{19}-10^{20}$~эВ при рассеянии их на фотонах реликтового
излучения. {\em Указание: } учесть рождение $e^+e^-$ и фотопионное
рождение $\gamma+p\to\Delta^+\to N+\pi$. 
    
\item Классическая теория с лагранжианом
\begin{equation}
  {\cal L} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^{2} -
  \frac{1}{4!}\phi^{4}
\end{equation}
обладает симметрием относительно маштабных преобразований:
$x\to\lambda x$, $\phi\to \lambda^{-1}\phi$. Найти тождества
Уорда, соответствующие этой инвариантности, т.е. по аналогии со
случаем КЭД найти
\begin{equation}
  \partial_{\mu} \langle 0 | {\rm T}
  j_{\mu}(x)\phi(x_1)...\phi(x_n) |0 \rangle = ?
\end{equation}
где $j_\mu$ - нетеровский ток масштабной симметрии


\item Найти поведение вершинных функций \\
\input{1.epic} и \input{2.epic} \\
 в теории Юкавы при евклидовых $p_1\sim p_2\sim p_3\sim p_4\sim q_1\sim q_2\sim Q$,
$Q^2$~велико (улучшить по ренормгруппе).

\item Найти асимптотическое поведение фотонного и фермионного
  пропагаторов в квантовой электродинамике при больших евклидовых
  импульсах, улучшенное по ренормгруппе в однопетлевом приближении.
  Используя полученный результат найти поправку к силе
  взаимодействия двух точечных зарядов (закону Кулона) на малых
  расстояних. 


%\item Посчитать аномальную размерность оператора $\bar\psi\psi$ в
% теории Юкавы.

%\item
%Найти потенциал взаимодействия кварков $qq$, $q\bar q$ в модели с
%калибровочной группой $SU(3)$. 

%\item Найти время жизни атома водорода, в котором вместо электрона ---
%мюон. 

%\item Найти время жизни и сечение рождения в  $\gamma\gamma$
%  столкновениях  для скалярного позитрония --- связанного состояния в
%  скалярной электродинамике. 


%% \item В скалярной электродинамике найти связанное состояние --- 
%% ``скалярный позитроний''. Определить волновые функции, времена жизни и 
%% энергии связи первых нескольких уровней. Вычислить сечение рождения
%% ``скалярного позитрония'' в столкновении двух фотонов. Сравнить с
%% позитронием в КЭД.  

%% \item Вычислить относительную ширину распада бозона Хиггса
%% Стандартной Модели в два фотона для массы бозона $m_h=120$~ГэВ. 
%% Найти эффективный локальный лагранжиан взаимодействия
%% $h\gamma\gamma$, который верно описывал бы этот распад. 

%\item В $\alpha$-калибровке вычислить полное сечение рассеяния
%глюонов $gg\to gg$. 



\end{enumerate}

\end{document}
