\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\textwidth16.0cm
\textheight24.0cm
\setlength{\topmargin}{-1.5cm} % war -0.5cm
\oddsidemargin 0.cm
\evensidemargin 0.cm


\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dm}{\partial_\mu}
\newcommand{\dmf}{\partial_\mu\phi}
\newcommand{\dn}{\partial_\nu}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\def\half{{1\over 2}}
\def\d{\partial}
\def\Tr{{\rm Tr}}


\begin{document}

{\large \bf Задачи по курсу ``Квантовая теория поля'', III курс,
  весенний семестр 2008/2009 учебного года.}  

\begin{enumerate}

\item Пусть есть два действительных скалярных поля $\varphi$, $\chi$.
  Возьмем лагранжиан
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}(\dmf)^2 + \frac{1}{2}(\dm\chi)^2
    - \frac{m^2}{2}\varphi^2 - m\mu\varphi\chi - \frac{M^2}{2}\chi^2
    + \frac{c}{2}\dmf\dm\chi \;.
  \end{displaymath}
  Проквантовать (найти коммутационные соотношения и двухчастичные
  функции Грина).  При каких значениях $m$, $\mu$, $M$ и $c$ такая 
  теория имеет смысл?

\item Дано фермионное поле $\psi$ с лагранжианом
  \begin{displaymath}
    \cL = \bar{\psi}i\gamma^\mu\dm\psi
    - \frac{m}{2}(\overline{\psi^C}\psi + \textrm{h.c.}) \;,
  \end{displaymath}
  где $\psi^C$~--- зарядово сопряженное поле.
  \begin{itemize}
  \item Показать, что лагранжиан лоренц-инвариантен.
  \item Найти общее решение уравнений поля.
  \item Получить выражение для тензора энергии-импульса.
  \item Проквантовать это поле (найти коммутационные соотношения между
    операторами рождения и уничтожения, а также между операторами поля;
    найти пропагатор).
  \end{itemize}

\item Даны два действительных скалярных поля $\varphi$, $\chi$ с
  лагранжианом
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}(\dmf)^2 - \frac{m^2}{2}\varphi^2
    + \frac{1}{2}\chi^2 + g\varphi^2\chi \;.
  \end{displaymath}
  Построить диаграммную технику по взаимодействию $g$. Показать
  подиаграммно, что модель эквивалентна теории одного скалярного поля
  с простым локальным самодействием. Найти лагранжиан эквивалентной теории.

\item Вычислить дифференциальное сечение $e^+e^- \to e^+e^-$ в
  теории Юкавы 
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}(\dmf)^{2} + i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\d_{\mu}\psi
  - m\bar{\psi}\psi + g\bar{\psi}\psi\phi
  \end{displaymath}
  в низшем порядке теории возмущений.


\item Найти закон преобразования операторов рождения и уничтожения
  $\phi^{\pm}({\bf k})$ и $\phi^{*\pm}({\bf k})$ в
  теории свободного комплексного скалярного поля относительно 1)
  преобразований группы Пуанкаре; 2) относительно
  $U(1)$-преобразований. 

\item В теории свободного комплексного скалярного поля вычислить
  величину $\langle {\bf x}| j_{0}(y) | {\bf x}\rangle$, где $j_{0}$ - 
  нулевая компонента сохраняющегося $U(1)$-тока, а 
  \begin{displaymath}
    |{\bf x}\rangle = \phi^{+}({\bf x}, 0) |0\rangle.
  \end{displaymath}
  Оценить размер области, в которой локализован заряд в таком
  состоянии. 

\item Используя операторы рождения и уничтожения, построить унитарный
  оператор, реализующий преобразование четности для скалярного и
  псевдоскалярного полей, соответственно 
   \begin{displaymath}
    {\cal P}\phi({\bf x},t){\cal P}^{-1} = \pm \phi(-{\bf x},t)
  \end{displaymath}
  и ${\cal P}|0\rangle = |0\rangle$. 

\item В теории с лагранжианом
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}(\dmf)^{2} - \frac{m^{2}}{2}\phi^{2} -
    \frac{\lambda}{4!}\phi^{4} 
  \end{displaymath}
  вычислить амплитуды $1\to 5$, $1\to 7$, $1\to 9$, $2\to 4$, $2\to
  6$ и $2\to 8$ в древесном приближении, где в конечных состояниях все
  частицы - реальные и имеют нулевые пространственные импульсы
  (рождение на пороге).

\item В теории вещественного скалярного поля с лагранжианом
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}(\dmf)^{2} - \frac{m^{2}}{2}\phi^{2} -
    \frac{\lambda}{(2n+1)!}\phi^{2n+1} -
    \frac{4n+1}{2((2n+1)!)^{2}}\frac{\lambda^{2}}{m^{2}}\phi^{4n}
  \end{displaymath}
  вычислить в древесном приближении амплитуду перехода $2n\to 2n$, где
  все частицы находятся на массовой поверхности, причем частицы в
  конечном состоянии рождаются на кинематическом пороге.

\item Рассмотреть теорию $N$ вещественных скалярных полей в
  лагранжианом
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\dmf_{i}\dmf_{i} -
    \frac{m^{2}}{2}\sum_{i=1}^{N}\phi_{i}^{2} -
    \frac{\lambda}{4!}\left(\sum_{i=1}^{N}\phi_{i}^{2}\right)^{2}.
  \end{displaymath}
  1) Найти группу симметрий теории. 2) Вычислить в древесном
     приближении амплитуды перехода $2\to 2$, $2\to 6$, $2\to 8$, где
     все частицы находятся на массовой поверхности, причем частицы в
     конечном состоянии рождаются на кинематическом пороге. В качестве
     начального состояния взять две частицы одного и того же
     поля. Обобщить результат на случай произвольного числа частиц в
     конечном состоянии.

\item Рассмотреть теорию двух массивных вещественных скалярных полей с потенциалом
  \begin{displaymath}
    {\cal V} = \frac{g}{2}\phi_{1}^{2}\phi_{2}^{2} +
    \frac{\lambda}{4!}\phi_{2}^{4}. 
  \end{displaymath}
  В древесном приближении получить амплитуду рождения $n=4, 6, 8$
  частиц поля $\phi_{2}$ в столкновении двух частиц поля $\phi_{1}$,
  причем все частицы находятся на массовой поверхности, а частицы в
  конечном состоянии рождаются на кинематическом пороге. Вычислить
  вышеуказанные амплитуды при $g=\frac{\lambda}{3}$ и
  $g=2\lambda$. Обобщить результат на произвольные $g$ и $\lambda$.

\item Рассмотреть теорию дираковского фермиона и вещественного
  скалярного поля со спонтанным нарушением симметрии,
  \begin{displaymath}
    \cL = i\bar{\psi}\gamma^{\mu}{\dm}\psi + \frac{1}{2}\dmf\dmf +
    \frac{m^{2}}{2}\phi^{2} - g\phi\bar{\psi}\psi -
    \frac{\lambda}{4!}\phi^{4}.
  \end{displaymath}
  Получить в древесном приближении амплитуду перехода фермионов в
  частицы скалярного поля $\phi$ (возбуждения над правильным вакуумным
  состоянием), $\psi\bar{\psi} \to n\phi$, $n=4,6,8$, причем все
  частицы находятся на массовой поверхности, а частицы в конечном
  состоянии рождаются на кинематическом пороге.  Вычислить
  вышеуказанные амплитуды при $\lambda=3g^{2}$ и
  $3\lambda=g^{2}$. Обобщить результат на произвольные $g$ и $\lambda$.

\item В теории Ферми, справедливой при низких энергиях,
  взаимодействие лептонов представляется в виде четырехфермионного
  взаимодействия с лагранжианом:
$$
\mathcal L_{int}=\frac{G_F}{\sqrt{2}}~l^\dagger_{\mu} l^{\mu},
$$
где лептонный ток $l_{\mu}$ имеет структуру:
$$
l_{\mu}=\bar{\psi_{l}} \gamma_{\mu}(1+\gamma_{5})\nu_{l} , \qquad l= e,\mu
$$

Вычислить сечение рассеяния процесса $\mu^{-}+\nu_{e}\rightarrow e^{-}+\nu_{\mu}$.

\item В кварковой модели легкие адроны состоят из трех типов кварков
  u, d и s. Будем считать кварки безмассовыми и образующими триплет
  относительно группы SU(3), являющейся группой глобальной симметрии
  теории.  Для состояний мезонов с орбитальным моментом $0$, барионов
  ($s=1/2$, $s=3/2$) найти связь между спином, четностью и
  представлением $SU(3)$, в котором они находятся.

\item Вычислить сечение рассеяния $\pi^+$ на протоне в теории
  пион-нуклонного взаимодействия с лагранжианом $ \mathcal L_{int} =
  g \bar\Psi \gamma^5 \vec\sigma \Psi \vec \pi$, где $\Psi = (\psi_p,
  \psi_n)$ --- изодублет нуклонов, а $\vec \pi$ --- псевдоскалярный
  изотриплет мезонов. Нуклоны находятся в фундаментальном
  представлении изотопической группы $\mathrm{SU}(2)$, а мезоны в
  присоединенном.


\item Рассмотрим киральную теорию, взаимодействующую с легким
  псевдоскаляром $P$. Полный лагранжиан имеет вид
  \begin{displaymath}
    \cL = \frac{1}{2}(\d P)^{2} + \frac{1}{2}m_{P}^{2}P^{2} +
    \frac{f^{2}}{8}{\rm Tr}\left(\dm U^{\dagger}\partial^{\mu}U +
    U^{\dagger}\chi + \chi^{\dagger}U\right),\;\;\; \chi =
    2B_{0}\left(\Sigma + hP\right), 
  \end{displaymath}
  где $B_{0}$ и $f$ --- размерные константы, $h$ --- $3\times 3$
  эрмитова константа безразмерных констант взаимодействия, $\Sigma$
  --- $3\times 3$ эрмитова матрица, содержащая массы $u,d$ и $s$
  кварков, а $3\times 3$ унитарная матрица $U$ содержит поля легких
  псевдоскалярных мезонов
  \begin{displaymath}
    U = {\rm exp}\left(i 2\Phi/f\right), \;\;\;
    \Phi = \left(
    \begin{array}{ccc}
      \frac{1}{\sqrt{2}}\pi^{0} + \frac{1}{\sqrt{6}}\eta & \pi^{+} &
      K^{+} \\
      \pi^{-} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\pi^{0} + \frac{1}{\sqrt{6}}\eta &
      K^{0} \\
      K^{-} & \bar{K}^{0} & -\frac{2}{\sqrt{6}}\eta
    \end{array}
    \right).
  \end{displaymath}

  \begin{enumerate}
  \item Найти группу симметрий теории.

  \item Определить массы мезонов, полагая $B_{0} = 2$~ГэВ, $m_{u} =
     5$МэВ, $m_{d} = 10$~МэВ, $m_{s} = 130$~МэВ. Сравнить с
     экспериментальными значениями.

  \item Вычислить в древесном порядке ширины распадов $K^{+}\to
  \pi^{+}\pi^{0} P$ и $K_{L,S}\to \pi\pi P$, где $K_{S} =
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(K^{0}+\bar{K}^{0}\right)$, $K_{L} =
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(K^{0}-\bar{K}^{0}\right)$. Объяснить
  полученный результат.
  \end{enumerate}

\item {\bf Солитоны в скалярной теории поля на некоммутативной
  сфере (fuzzy sphere).}

\newcommand{\D}{\partial}

Рассмотрим пространство $\mathbb{R}^3$ с координатами $x^a, a=1,2,3$ и
евклидовой метрикой $g_{ab} = \delta_{ab}$
[Madore,Class.Quant.Grav.9:69-88,1992]. Рассмотрим сферу
$\mathrm{S}^2$
\begin{equation}
\label{s2}
  g_{ab}~x^ax^b = r^2.
\end{equation}
Пусть $\mathcal{C}(\mathrm{S}^2)$ алгебра комплекснозначных
функций на сфере, которая допускает полиномиальное разложение по
$x^a$
\begin{equation*}
\label{fxa}
  f(x^a) = f_0 + f_a x^a + \frac{1}{2} f_{a_1a_2} x^{a_1} x^{a_2}
  + ...
\end{equation*}
Оборвем разложение до $(n-1)$-ой степени
\begin{equation}
\label{fxat}
  f(x^a) = f_0 + f_a x^a + \frac{1}{2} f_{a_1a_2} x^{a_1} x^{a_2}
  + ... + \frac{1}{(n-1)!} f_{a_1a_2..a_{n-1}} x^{a_1}
  x^{a_2}..x^{a_{n-1}}.
\end{equation}
Линейное пространство полиномов $(n-1)$-ой степени назовем
$\mathcal{C}_n(\mathrm{S}^2)$. Тензор $f_{a_1a_2..a_{k}}, 0\leq
k\leq n-1$ можно выбрать симметричным по всем индексам. Свертку
$f_{a_1a_2..a_{k}}$ по любым двум индексам можно выбрать равной 0,
используя (\ref{s2}).

Любой полином вида (\ref{fxat}) можно разложить по базису сферических
функций:
\begin{equation*}
f(x^a) = \sum_{l=0}^{n-1} \sum_{m=-l}^{l} f_{lm}
Y_{lm} (\Omega),~~~~~~~~~~~
f_{lm} = \int \frac{d\Omega}{4 \pi} f(x^a) Y_{lm}^*.
\end{equation*}

Зададим умножение на пространстве  полиномов (\ref{fxat}). Для
этого поставим в соответствие каждому полиному комплексную матрицу
$n\times n$ по следующему правилу: в разложении (\ref{fxat})
заменим $x^a$ на $\hat x^\alpha = \varkappa \hat{J}^a$, где $\hat{J}^a$ генераторы
$n$ - мерного неприводимого представления алгебры $SU(2)$
\begin{equation*}
\label{su2} [\hat{J}^a,\hat{J}^b] = i \varepsilon^{abc} \hat{J}^c.
\end{equation*}
Коэффициент $\varkappa$ выбирается так, чтобы удовлетворялась
связь (\ref{s2}).
\begin{equation*}
\label{kappa1} \varkappa^2 \hat{J}^a \hat{J}^a = r^2 ~~\Rightarrow~~ \varkappa = \frac{2 r}{\sqrt{n^2-1}}.
\end{equation*}

Введем операторы дифференцирования
\begin{equation*} \label{diff} L_a \hat f \equiv [\hat
J_a,\hat f]
\end{equation*}

Запишем действие теории скалярного поля на некоммутативной сфере в виде:


\begin{equation} \label{scalaraction2a}
L(\hat \varphi, \D_t \hat \varphi) = \frac{4 \pi r^2}{n}
\frac{1}{2} \Tr \left( (\D_t \hat \varphi)^2 + \frac{1}{r^2} [\hat
J_a \hat \varphi][\hat J_a \hat \varphi] - g \hat \varphi^2
(\lambda - \frac{2}{3} \hat \varphi) \right).
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Получить действие теории в коммутативном пределе: $n\rightarrow \infty$ при
  фиксированном $r$.
\item Получить действие теории в плоском пределе: $ \label{planelim}
n \rightarrow \infty,~ r^2 = \frac{n \theta}{2} \rightarrow
\infty$, при фиксированном $\theta $.
\item Предположить, что потенциальный член в действии
  \ref{scalaraction2a} доминирует над кинетическим и найти независящие
  от времени решения (солитоны) при произвольном~$n$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
% LocalWords:  фермионных лагранжевой Возьмем лагранжиан Проквантовать лоренц
% LocalWords:  фермионное лагранжианом сопряженное пропагатор подиаграммно
% LocalWords:  самодействием Юкавы проквантовать четности псевдоскалярного
% LocalWords:  причем дираковского
