\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{bezier,color}
%\usepackage[backref=page]{hyperref}
 %Note: Hyperref should be the last included package.
\usepackage{amsmath,amssymb}
\textheight 8.7in
\textwidth 6.5in
\topmargin -27pt
\oddsidemargin -0.1in
\evensidemargin -0.1in
\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\begin{document}
%\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{russian,a4,epsfig,bezier,amssymb,amsmath}
%\begin{document}

{\Large \bf 1. Расширяющаяся Вселенная}

\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.1.
Космологическая модель Казнера.\\}
%1) Найти решениия уравнений Эйнштейна без космологического члена в пустоте
%для однородной, но анизотропной пространственно-плоской космологической
%модели, метрику которой можно представить в виде
%$$
%ds^2=dt^2-h_{ij}(t)dx^idx^j\;,
%$$
%причем при фиксированном времени $t$ пространственная метрика плоская
%(т.е., при фиксированном $t$ метрика $h_{ij}(t)dx^idx^j$ сводится к
%плоской координатным преобразованием).
Рассмотрим однородное, но анизотропное решение уравнений Эйнштейна
в пренебрежении материей (космологическое решение Казнера,
Ландау-Лифшиц, т.2, параграф 117)
\[
ds^2=dt^2-\sum_{i=1}^3t^{2p_i}(dx^i)^2,\qquad\sum p_i=1,\qquad\sum p_i^2=1.
\]
1)Имеется ли  в этом решении
сингулярность тензора кривизны при каком-либо $t$?\\
2) Движутся ли сопутствующие наблюдатели по геодезическим?\\
3) Для полученного решения найти аналог закона Хаббла (линейная зависимость
красного смещения $z$ от расстояния при небольших $z$ в однородной
изотропной Вселенной).\\
4) Предположим, что в некоторый момент $t_0$ в такой Вселенной произошло
излучение фотонов с тепловым спектром с одинаковой во всем простанстве
температурой (ситуация, аналогичная рекомбинации в однородной изотропной
Вселенной). Будет ли распределение фотонов, приходящих  в момент $t_1>t_0$
к сопутствующему наблюдателю с фиксированного направления, иметь тепловой
спектр? Если да, то как будет зависеть температура от направления?

\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.2.}\\
Рассмотрим однородную, но анизотропную Вселенную с метрикой
типа Казнера,
\[
ds^2=dt^2-a^2 (t) \sum_{i=1}^3 \mbox{e}^{2\beta_i (t)}(dx^i)^2,
\]
где на функции $\beta_i$ наложено условие
\[
\sum_{i=1}^3 \beta_i (t) = 0 \; ,
\]
так что $a(t)$ характеризует сопутствующий объем,
$a^3(t) = \mbox{det}^{1/2} (-g_{ij})$. Пусть такая Вселенная заполнена пылью
(веществом с нулевым давлением).

1) Найти закон эволюции $a(t)$, $\beta_i (t)$.

2) Показать, что при расширении Вселенная изотропизуется, и, более того,
эффекты анизотропии исчезают в пределе $t \to \infty$.

\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.3.  Big Rip.}\\
Пусть Вселенная заполнена веществом (атомами) и темной энергией,
причем темная энергия имеет уравнение состояния
$p=w\rho$, где константа $w < -1$. Показать, что концом расширения в
этом случае является сингулярность. Описать, что происходит с веществом при
приближении к этой сингулярности. Через сколько лет наступит эта
сингулярность в нашей Вселенной, если $w=-1.1$?



\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.4. Газ Чаплыгина.}\\
Рассмотреть Вселенную, заполненную веществом с уравнением состояния
\begin{equation}
\label{chaplygin-gas}
p=-\frac{A}{\rho}\;
\end{equation}
(газ Чаплыгина). 

1) Найти зависимость параметра Хаббла от масштабного фактора.

2) Найти закон эволюции Вселенной $a=a(t)$ в пределах малого и
   большого масштабного фактора во всех трёх случаях: $\varkappa=0,\pm 1$. 

3) Найти закон эволюции $a=a(t)$ в случае пространственно-плоской Вселенной.

4) Для каких $\varkappa$ существуют статические решения уравнений Эйнштейна? 

5) Что можно сказать про будущее Вселенной, если известно, что в
некоторый момент времени она расширяется с ускорением?  Рассмотреть
все три случая, $\varkappa=0,\pm 1$.



\vspace{1cm}



{\bf Задача 1.5.}\\
Найти закон эволюции $a=a(t)$ пространственно-плоской Вселенной
($\varkappa=0$) с отрицательной, не зависящей от времени космологической
постоянной. Считать, что вещество во Вселенной имеет пылевидное
уравнение состояния $p=0$. Найти полное время жизни. 


\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.6.}\\
Пусть $L$ --- абсолютная светимость источника (энергия, излучаемая
в единицу времени), $J$ --- его видимая яркость(поток энергии на Земле).
Определим фотометрическое расстояние $r_{ph}(z)$ источника с красным смещением $z$
равенством
\[
J=\frac{L}{4\pi r_{ph}(z)}.
\]
Найти первую поправку по $z$ к закону Хаббла, т.е. фотометрическое 
расстояние $r_{ph}(z)$ с
квадратичной точностью по $z$, в терминах $H_0$ и 
$q_0=\ddot{a}_0/{H_0^2a_0}$; 
уравнение
Фридмана при этом не использовать.


\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.7.}\\
Найти уравнение движения частицы в расширяющейся 
пространственно-плоской
Вселенной,
считая, что эта частица находится вблизи покоящегося
уединенного точечного тела
массы $M$ (далекая звезда около галактики), и с точностью до 
присутствия этого тела
Вселенная однородна и изотропна. Записать это уравнение в
терминах физического расстояния до тела и физической скорости
обращения вокруг тела. Использовать ньютоновское приближение для
взаимодействия частицы с телом. Параметр Хаббла и его эволюцию считать
известными.

Рассмотреть случай Вселенной, заполненной нерелятивистским
веществом (плюс тело массы $M$), и частицы, обращающейся вокруг тела
по (почти) круговой орбите с периодом обращения, малым по сравнению с
хаббловским временем.

1) Больше или меньше скорость вращения при данном радиусе
обращения по сравнению со случаем плоского объемлющего
пространства-времени?

2) Как меняется со временем радиус обращения?

Объяснить полученные результаты.


\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.8.}\\
Найти уравнение движения частицы в расширяющейся 
пространственно-плоской
Вселенной,
считая, что эта частица находится вблизи покоящегося
уединенного точечного тела
массы $M$ (далекая звезда около галактики), и с точностью до 
присутствия этого тела
Вселенная однородна и изотропна. Записать это уравнение в
терминах физического расстояния до тела и физической скорости
обращения вокруг тела. Использовать ньютоновское приближение для
взаимодействия частицы с телом. Параметр Хаббла и его эволюцию считать
известными.

Рассмотреть случай Вселенной, доминированной космологической постоянной
(плюс тело массы $M$), и частицы, обращающейся вокруг тела
по (почти) круговой орбите. Найти максимальный радиус орбиты.
Сделать оценку для $\rho_\Lambda = \Omega_\Lambda \rho_c \sim 3\cdot 
10^{-6}$~ГэВ и $M = 10^{11}~M_{\odot}$ (масса галактики).

\vspace{1cm}

{\bf Задача 1.9.}\\
Пусть в природе имеется $\Delta N_\nu$ новых типов безмассовых нейтрино,
свойства которых во Вселенной при температурах ниже 1~МэВ такие же,
как свойства известных нейтрино\footnote{Из ускорительных
экспериментов (в частности, из измерения ширины $Z$-бозона) следует, что 
новые нейтрино должны быть
``стерильными'', то есть не должны участвовать в слабых взаимодействиях.
Тем не менее они могут иметь ту же эффективную температуру, что
известные (``активные'') нейтрино благодаря осцилляциям между
активными и стерильными нейтрино.}. Считая все другие космологические
параметры фиксированными, выяснить,
зависит ли от $\Delta N_\nu$ угловой размер
горизонта эпохи рекомбинации. Если зависит, 
то оценить, какое ограничение на $\Delta N_\nu$
можно поставить, измеряя этот угловой размер с точностью
$\Delta \theta / \theta$. Считать  $\Delta \theta / \theta \ll 1$, а
$\Delta N_\nu$ не обязательно целым.
Сделать численную оценку для $\Delta \theta / \theta = 3\%$
и $\Delta \theta / \theta = 1\%$.



\vspace{1cm}

{\Large \bf Космология и физика частиц}




\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.1.}\\
Рассмотрим нереалистическую теорию, в которой нейтрино не осциллируют,
тау-нейтрино имеет массу и может распадаться по
единственному каналу $\nu_\tau\to\nu_e\nu_\mu\bar{\nu}_\mu$, а массы
$\nu_e$ и $\nu_\mu$ равны нулю. Найти космологически запрещенную область
параметров $(m_{\nu_\tau}\ , \;\tau_{\nu_\tau})$, где $m_{\nu_\tau}$ и
$\tau_{\nu_\tau}$ --- масса и время жизни $\nu_\tau$. 

\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.2.}\\
Рассмотрим тяжелые ($M_X>1$ ТэВ) гипотетические стабильные частицы $X$,
рождающиеся парно в процессе аннигиляции топ-кварков, $t\bar{t}\to X\bar{X}$.
Пусть сечение их образования имеет вид
%\begin{gather}
%\label{5*}
\begin{equation}
\sigma_{t\bar{t}\to
X\bar{X}}=\frac{h^2}{64\pi^2}\frac{1}{s}\;,\;\;s>4M_X^2\;,
\label{5*}
\end{equation}
%\end{gather}
а ниже порога образования пары $X\;,\;\;\bar{X}$
\[
%\begin{gather}
\sigma_{t\bar{t}\to X\bar{X}}=0\;,\;\;s<4M_X^2\;\nonumber,
%\end{gather}
\]
где $\sqrt{s}$ --- энергия $t\bar{t}$-пары в системе центра масс, $h$ ---
некоторая константа связи (пороговый фактор в (\ref{5*}) мы не выписывали,
считая его несущественным для оценки). Пусть сечение обратного процесса
$X\bar{X}\to t\bar{t}$ также имеет вид (\ref{5*}), где $\sqrt{s}$ теперь ---
полная энергия (включая энергию покоя) пары $X\bar{X}$ в системе центра масс.\\
1) Считая, что ``в начале'' (т.е., при $T>>M_X$) частицы $X$ и $\bar{X}$
отсутствовали в космической плазме, найти область на плоскости $(M_X\;,\;\;h)$,
для которой процессы $t\bar{t}\to X\bar{X}$ и $X\bar{X}\to t\bar{t}$
находятся в термодинимическом равновесии когда-нибудь в течение эволюции
Вселенной (т.е. при каких-нибудь температурах).\\
2) При том же начальном условии найти космологически разрешенную область
на плоскости параметров $(M_X\;,\;\;h)$. Содержит ли она линию $h=0$?\\
3) При каких значениях  $M_X$ и $h$ частицы $X$ и $\bar{X}$ представляют из
себя темную материю (т.е., $\Omega_X\simeq 0.2$)? Начальные условия считать такими
же, как и в п.1.


\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.3.}\\
Сделаем (неправильное) предположение о том, что в природе отсутствуют
$Z^{0}$-бозоны, а $W^{\pm}$ --- существуют. Какими тогда будут
современные концентрации нейтрино различных типов?

Указание:\\
1)~процессы,  происходящие на петлевом уровне, не учитывать;\\
2)~предполагать (снова вопреки экспериментальным данным), что
нейтринные осцилляции отсутствуют.





\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.4.}\\
Предложить модель физики частиц (расширяющую Стандартную модель), в
которой реликтовые нейтрино в эпоху рекомбинации имели бы температуру
$T_{\nu}$ меньше $0.1\;T_{\gamma}$, где $T_{\gamma}$ ---
температура фотонов в эту эпоху. Какого минимального значения
$T_{\nu}/T_{\gamma}$ можно добиться? Указание: 1)~разрешается вводить
любые гипотетические частицы, делать произвольные предположения об их
массе, масштабе сечения их взаимодействий, времени жизни и модах
распада. Требуется только, чтобы модель не противоречила
экспериментальным данным, полученным на ускорителях, т.е. массы новых
частиц превышали 200~ГэВ; 2)~космологические данные по первичному
нуклеосинтезу не учитывать, но в остальном модель не должна
противоречить космологии.

\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.5.}\\
Найти температуру рекомбинации электронов и ядер $^4$He,
считая, что имеет место термодинамическое равновесие.
Указания: (1) массовая доля первичного $^4$He составляет 25\%,
то есть
\[
    \frac{m_{^4He} n_{^4He}}{m_p n_p + m_{^4He} n_{^4He}} = 0.25
\; ;
\]
(2) не забудьте, что атом гелия имеет два электрона.

\vspace{1cm}




{\bf Задача 2.6.}\\
Найти разности плотностей частиц и античастиц (асимметрии)
для всех типов ультрарелятивистских частиц в равновесной
электронейтральной среде при температуре $T=800$~МэВ, считая 
известными плотности барионного и лептонных чисел
$n_B, n_{L_e}, n_{L_\mu}, n_{L_\tau}$, причём
$n_B, n_{L_e}, n_{L_\mu}, n_{L_\tau} \ll T^3$. Указания: 
(1) учесть, что при такой температуре релятивистскими
являются $u$-, $d$-, $s$-кварки, электрон, мюон и все типы
нейтрино, а остальные фермионы Стандартной модели --- 
нерелятивистские; (2)  учесть, что нейтрино имеют одну спиральность,
а другие фермионы --- две; (3)  учесть, что кварки имеют три
цветовых состояния.

%\newpage

\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.7.}\\
Оценить численные значения химических потенциалов $\mu_e$, $\mu_p$
(точнее, разностей $(\mu_p - m_p)$, $(\mu_e - m_e)$),
непосредственно перед
рекомбинацией ($z=1100$). Сравнить полученные значения с массами
электрона и  протона. То же для температуры закалки нейтрино
$T\sim 1$~МэВ.


\vspace{1cm}

{\bf Задача 2.8.}\\
Проверьте, что нейтрино с массой $m_\nu=3$~ГэВ закаливается 
в нерелятивистском
режиме, $T_d<m_\nu$. Найдите массу нейтрино, при которой это
предположение
перестает выполняться. Покажите, тем не менее, что космологически
исключена вся область масс стабильных нейтрино
\[
20~\mbox{эВ}\lesssim m_\nu\lesssim3~\mbox{ГэВ}
\]

\vspace{1cm}


{\bf Задача 2.9}\\
Пусть имеются новые гипотетические частицы $X$ и их античастицы
$\bar{X}$ массы $m$, единствеными механизмами уничтожения и рождения
которых служит их парная аннигиляция в частицы Стандартной модели и
обратный процесс. Пусть в нерелятивистком пределе сечение аннигиляции
равно
\[
\sigma(X \bar{X}) = \frac{\sigma_0}{v_X} \; ,
\]
где $v_X$ --- относительная скорость $X$ и $\bar{X}$, $\sigma_0$ ---
константа ($s$-волновая аннигиляция). 
Пусть изначально во Вселенной имелась асимметрия
\[
\frac{n_X - n_{\bar{X}}}{s} \equiv \Delta_X > 0 \; .
\]
При каких значениях параметров $m$, $\sigma_0$ и $\Delta_X$ 
частиц $X$ и античастиц $\bar{X}$ сегодня почти одинаковое количество,
а при каких имеются только частицы $X$, а античастиц $\bar{X}$ почти не
осталось? 


\end{document}
