\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\begin{center}
\large\sf
Задачи к зачету по спецкурсу\\
\Large\sf
``Классические калибровочные поля. Теории с фермионами.''\\
\large\sf
(май 2008)
\end{center}

\begin{enumerate}
\item {\bf Куда пропал заряд?}\\
\label{prob:1}
Рассмотрим (1+1)-мерные безмассовые фермионы с электрическим зарядом
$e=+1$ в ящике с периодическими граничными условиями. Фермионы
взаимодействуют с потенциалом
$$
A_0 = -Zf(x)\;,\qquad \qquad A_1 = 0\;,
$$
где $f(x) \geq 0$ --- узкая функция, интеграл от которой равен $1$
(гладкий аналог $\delta$--функции).
\begin{enumerate}
\item Найти собственные значения и собственные функции гамильтониана
  Дирака. Можно ли отличить модели с $Z=2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$,
  проводя эксперименты по рассеянию фермионов?
\item Предположим, что в некотором эксперименте значение $Z$ 
увеличивается адиабатически от $Z=0$ до $Z=2\pi$. Сохраняется
ли при этом электрический заряд?
\item Вакуумом модели с $Z=2\pi n$ будем называть состояние, в
  котором заполнены все фермионные уровни с отрицательной энергией. 
Вычислить плотность заряда вакуума:
\begin{equation}
\label{eq:1}
\rho (x) = \langle \hat{\psi}^+(x)\, \hat{\psi}(x) \rangle\;, 
\end{equation}
где $\hat{\psi}(x)$ --- вторичноквантованный фермионный оператор.  
Чему равен полный заряд вакуума? \\
{\it Указание.} Вообще говоря, величина \eqref{eq:1} равна бесконечности 
из-за присутствия бесконечного числа уровней в море Дирака. В качестве
регуляризации можно использовать раздвижку точек операторов $\hat{\psi}^+$ и
$\hat{\psi}$:
$$
\rho (x) = \lim_{\epsilon\to 0} \left[\langle \hat{\psi}^+(x-\epsilon)\,
\hat{\psi}(x+\epsilon) \rangle_{Z=2\pi m}  - \langle \hat{\psi}^+(x-\epsilon)\,
\hat{\psi}(x+\epsilon) \rangle_{Z=0}\right]\;,  
$$
где мы учли, что при $Z=0$ вакуум обладает нулевой плотностью заряда.
\end{enumerate}

\item {\bf Критический заряд в модели с короткодействием.}\\
Вообразим атом, связанный короткодействующим центрально-симметричным
векторным полем
$$
A_0 =  - Z \delta(r-R)\;, \qquad \qquad 
A_i(r) = 0\;,
$$
где $R$ - радиус, а $Z$ -- заряд ядра. Заряд
электрона по отношению к полю $A_\mu$ положен равным $e=+1$.
\begin{enumerate}
\item При каких значениях $Z$, $R$ существуют связанные состояния
  электронов в поле ядра? Изобразить соответствующую область на
  плоскости $Z-R$. Найти энергию и волновую функцию основного
  состояния. Рассмотреть случаи $m R\gg 1$, $m R\ll 1$, где
  $m$ - масса электрона.
\item Найти критическое значение заряда $Z_c(R)$, при котором основной
  электронный уровень растворяется в дираковском море. 
\item Представим эксперимент, в котором заряд ядра
  изменяется от $Z=0$ до $Z>Z_c$ за характерное время $\tau \gg
  m^{-1}$. Сколько частиц(античастиц) рождается в таком эксперименте?
  Рассмотреть случаи $\tau\gg R$, $\tau \ll R$.
\end{enumerate}

\item {\bf Рассеяние фермионов на космической струне.}\\
Рассмотрим $(2+1)$-- мерные массивные фермионы с дробным электрическим
зарядом $q>0$. Фермионы помещены в потенциал Ааронова-Бома
\begin{equation}
\label{A}
A_0 = 0\;,  \qquad \qquad A_i = -\theta(r-R)\, \epsilon_{ij}\frac{n_j}{r}\;,
\end{equation}
где $R$ --- размер центральной части потенциала. Можно грубо
полагать, что поле \eqref{A} создано вихрем Абрикосова размера
$R$. Ниже будем рассматривать два представления матриц Дирака 
\begin{equation}
\label{eq:2}
\alpha^1 = \sigma^1\;, \qquad \alpha^2 = s\sigma^2 \;, \qquad \beta =
\sigma^3\;,
\end{equation}
отличающиеся значением параметра $s=\pm 1$.
\begin{itemize}
\item Показать, что представления \eqref{eq:2} не эквивалентны,
  т.е. не могут быть переведены друг в друга преобразованием
  $$
  \alpha^i \to U\alpha^i U^+\;,\qquad \qquad  \beta \to U\beta U^+\;,
  $$ 
  где $U$-- унитарная матрица. Параметр $s$ будем отождествлять с
  удвоенным спином фермиона.
\item Рассмотрим фермионы в поле вихря нулевого размера,
  $R=0$. Наложив условие регулярности волновой функции при  $r=0$,
  найти точные решения уравнения Дирака. Вычислить амплитуду рассеяния
  на вихре фермиона, который изначально двигался вдоль координаты
  $x^1$. Зависит ли амплитуда от параметра $s$? 
\item Рассмотрим теперь вихрь конечного, но малого размера. Используя
  условие сшивки при $r=R$, найти собственноэнергетические волновые
  функции фермионов, ``выживающие'' в пределе $R\to 0$. Совпадают ли
  они с волновыми функциями, полученными в предыдущем пункте? Найти
  амплитуду рассеяния на вихре конечного, но малого размера.
\end{itemize}

Теперь рассмотрим $(3+1)$-- мерное пространство-время. Потенциалу
\eqref{A} в этом случае соответствует космическая струна ---
одномерный объект, электрическое поле которого обладает свойством
трансляционной инвариантности вдоль координаты $x^3$ ($A_3 = 0$, а
остальные компоненты $A_\mu$ даются выражением \eqref{A}).
\begin{enumerate}
\item Показать, что волновые функции фермионов, обладающих
  нулевым импульсом вдоль координаты $x^3$, описываются $(2+1)$--
  мерным уравнением Дирака, причем два уравнения с $s=\pm 1$ описывают
  две независимые поляризации $\psi_{\pm}$ четырехмерного
  фермиона. Показать, что проекция спина на координату $x^3$
  представима в виде $\hat{s}^3 = s\sigma^3/2$. Ниже будем
  использовать линейно поляризованные фермионы
  $$
  \psi_\gamma = \cos\gamma \psi_+ + \sin\gamma \psi_-\;.
  $$
\item Найти дифференциальное сечение рассеяния $d\sigma(\psi_\gamma
  \to \psi_{\gamma'})$ поляризованных фермионов на космической
  струне. 
\end{enumerate}

\item  {\bf Аксиальная аномалия.}\\
Рассмотрим заряженные безмассовые фермионы в кубическом ящике большого
размера $L$ в (3+1)-мерном пространстве во внешнем постоянном
магнитном поле {\bf H}, направленном вдоль оси $z$. Пусть на некоторое
  время $\tau$ на систему накладывается однородное электрическое поле
  {\bf E}, направленное вдоль оси $z$. Найти изменение чисел правых и
  левых фермионов. Связать это изменение с
$$
\int \! F_{\mu\nu} \tilde F_{\mu\nu}\, d^4x \propto \int \! {\bf E}
\cdot{\bf H}\, d^4x,
$$
где $\tilde F_{\mu\nu}=\frac12 \epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}
F_{\rho\lambda}$. Считать, что $eH\gg (2\pi/L)^2$, включение и
выключение поля производится адиабатически, а время переключений
много меньше $\tau$.

\item {\bf Восстановление симметрии в плотной фермионной   среде.} \\ 
Рассмотрим четырехмерную теорию действительного скалярного поля
$\varphi $, взаимодействующего с одним типом дираковских фермионов.
Действие скалярного поля выберем в виде
$$
S_\varphi =\int\limits_{}^{}\!d^4x\left[\frac{1}{2}\left(\partial _\mu
\varphi  \right)^2-\frac{\lambda }{4}(\varphi ^2-v^2)^2 \right]\;,
$$
а фермионное действие --- в виде
\[
S_\psi =\int\limits_{}^{}\!d^4x\left(i\bar{\psi }\gamma ^\mu \partial _\mu
\psi - f\varphi \bar{\psi }\psi \right )\;.
\]
Константы связи $\lambda $ и $f$ предполагаются малыми.
\begin{enumerate}
\item Показать, что в теории имеется дискретная симметрия
  $\varphi \to -\varphi$. Эта симметрия спонтанно нарушена вакуумами
  теории. 
\item Рассмотрим систему при конечной плотности фермионов $n_F$. Найти
  плотность энергии фермионной среды $\varepsilon _F(\varphi )$ 
  в произвольном однородном внешнем поле $\varphi$, если плотность числа
  фермионов равна $n_F$.
\item Изобразить качественно зависимость полной плотности энергии
  системы
  \[
  V_{\rm eff}(\varphi )=\frac{\lambda }{4}(\varphi ^2-v^2)^2+\varepsilon
  _F(\varphi )
  \]
  от поля $\varphi $ при различных $n_F$. Рассмотреть случаи $\lambda
  \ll f^4$, $\lambda \gg f^4$.
  \item Для двух предельных случаев предыдущего пункта найти  значение
    $n_F$, при котором симметрия восстанавливается, т.~е.\ $V_{\rm
      eff}(\varphi )$ имеет глобальный минимум в точке $\varphi
    =0$. Найти соответствующую критическую плотность.
\end{enumerate}

\item {\bf Нарушение фермионного числа в холодной плотной фермионной среде.}
Рассмотрим абелеву модель Хиггса в (1+1)--мерном
пространстве\allowhyphens-времени. Включим в нее безмассовые фермионы
с действием 
\[
S_\psi =\int\limits_{}^{}\!d^2x \,i\bar{\psi }\gamma ^\mu (\partial
_\mu-ie\gamma ^5A_\mu ) \psi.
\]
\begin{enumerate}
\item Найти правила суперотбора для инстантонных процессов в данной
  модели. 
\item Рассмотрим систему с конечной плотностью фермионов $n_F$, где
  плотности левых и правых фермионов равны (при этом полный
  калибровочный заряд равен нулю). Пусть конфигурация калибровочного
  поля изменяется адиабатически от $A_1 = 0$ до некоторого $A_1 =
  A_1(x^1)$ (используем калибровку $A_0 = 0$). Вычислить изменение
  энергии фермионной среды, т.~е. вклад фермионов в статическую
  энергию как функционал от $A_1(x^1)$. [Указание. Энергию
    конфигурации, в которой заполнены все фермионные уровни с
    отрицательной энергией, считать нулевой.]
\item Используя полученное в предыдущем пункте выражение,
  найти ``вакуумные'' состояния модели при конечной плотности
  фермионов - локальные минимумы функционала энергии. Какие фермионные
  числа можно приписать этим вакуумам (см. задачу \ref{prob:1})? 
\item Какие инстантонные процессы энергетически разрешены в данной
  модели, а какие - запрещены? Найти соответствующие правила отбора.  
\item Пусть в результате некоторого процесса система оказалась в
  состоянии с плотностью фермионов $n_F$, $A_\mu = 0$ и $\phi =
  v$. Показать, что при фермионных плотностях, превышающих некоторое
  критическое значение $(n_F)_c$, классически разрешено значительное
  нарушение барионного числа, $\Delta n_F \sim n_F$. Найти $(n_F)_c$. 
  Вакуумное значение поля Хиггса считать большим, $v\gg 1$.
\end{enumerate}

\item {\bf Сверхпроводящая доменная стенка.}\\
Рассмотрим теорию, описывающую электромагнитное поле $A_\mu$,
заряженное скалярное поле $\chi$ и нейтральное скалярное поле
$\phi$:
\[
{\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+
|D_\mu\chi|^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-V(\phi,\chi)\;.
\]
где $D_\mu\chi=(\partial_\mu-ieA_\mu)\chi$. Cкалярный потенциал
выберем в виде
\begin{align}
\notag
&V(\phi,\chi)=
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial \phi}\right)^2+
\left|\frac{\partial W}{\partial \chi}\right|^2\;,\\
\notag
&W(\phi,\chi)=\frac{\lambda}{3}\phi^3-v^2\phi+g\phi|\chi|^2\;,
\end{align}
где $\lambda$, $g$, $v^2$ --- положительные параметры.

Сначала рассмотрим теорию в $(1+1)$--мерном пространстве-времени.

\begin{enumerate}
\item Найти множество вакуумов теории и массы полей в окрестности
  каждого вакуума.
\item Провести топологическую классификацию полевых конфигураций с
  конечной энергией. Показать, что в каждом топологическом секторе
  существует статическое решение (солитон), отвечающее минимуму
  функционала энергии. Устойчивы ли эти решения? Найти массы
  солитонов.
\item Найти солитонные решения в явном виде для случая $g=2\lambda$.
\item \label{itemc} Добавим к скалярному потенциалу слагаемое 
  \[
  V_1(\phi,\chi)=-\epsilon_1\phi^2|\chi|^2+\epsilon_2v^2|\chi|^2\;,
  \]
  причем параметры $\epsilon_1$, $\epsilon_2$ будем считать малыми, 
  $\epsilon_1, \epsilon_2 \ll \lambda^2, g^2$. Показать, что при
  некоторых значениях параметров $\epsilon_1$, $\epsilon_2$ в теории
  существует единственный солитон $\phi=\phi_s(x_1)$,
  $\chi=\chi_s(x_1)$, где функция $\chi_s(x_1)$ отлична от нуля и
  локализована в центре солитона.
\end{enumerate}

Солитону, изученному в пункте \ref{itemc} задачи, соответствует в
случае $(3+1)$-мерного пространства-времени доменная
стенка --- решение уравнений поля, имеющее профиль солитона вдоль 
координаты $x_1$ и не зависящее от $x_0, x_2, x_3$; такая стенка
является двумерной поверхностью, на которой локализовано поле $\chi$.
\begin{itemize}
\item Поле $\chi$ несет электрический заряд, поэтому по доменной
  стенке может протекать ток. Показать, что доменная стенка является
  сверхпроводящей, т.е. существует решение с нулевой плотностью заряда
  и незатухающим электрическим током 
  $$
  J_z=-i e \left( \chi^* D_\mu\chi -\chi
    D_\mu\chi^*\right)\,,
  $$ 
  локализованным на стенке.  При всех ли значениях тока есть решение?
  Что происходит при включении электрического поля ${\bf E}=(0,E_2,E_3)$, 
  направленного вдоль доменной стенки? 
\item Показать, что имеется критическое значение $J^c$ плотности
  поверхностного тока через стенку, выше которого сверхпроводимость
  нарушается. Оценить $J^c$, считая, что  $\epsilon_1$, $\epsilon_2$
  --- величины одного порядка и  $g=2\lambda$.
\end{itemize}

\item {\bf Нулевые фермионные моды в поле сфалерона.}\\
Рассмотрим четырехмерную теорию с калибровочной группой
SU(2) и хиггсовским дублетом. Включим в нее безмассовые изодублетные
дираковские фермионы с действием 
$$
S_{\psi} = \int d^4x \, i\bar{\psi} \gamma^{\mu} D_\mu \psi\;. 
$$
Рассмотрим уравнение Дирака во внешнем поле сфалерона:
$$
A_i(x) = -i \epsilon_{ija} n_j \tau_a \frac{f(r)}{r}\;, \qquad\qquad 
\varphi(x) = -i \tau_a n_a \varphi_0 h(r) \begin{pmatrix} 0
  \\1 \end{pmatrix}\;,
$$
где $r$-- радиус-вектор, $n_i = x_i / r$.
\begin{enumerate}
\item Используя симметрии сфалеронного поля, найти аналог
  сохраняющегося углового момента фермиона.
\item Ограничиваясь фермионами с минимальным угловым моментом,
  показать, что в поле сфалерона имеются нулевые моды дираковского
  гамильтониана (собственные функции с нулевой энергией). Найти
  количество нулевых мод каждой киральности. 
\item Дать интерпретацию нулевых мод в терминах пересечения
  уровней. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
