\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\centerline{\bf\large Задачи-4} 
\centerline{\it Квантовая теория поля - 5 курс, 1 семестр.}
\vskip 0.5cm

Для получения зачета требуется решить 14 задач или более. 
\vskip 1cm

\begin{enumerate}
\item Показать, что $\zeta^a$ являются связями 1 рода:
\begin{align}
\notag
&[\zeta^a(\vec{x},t),\, \zeta^b(\vec{y},t)] = g\delta(\vec{x}-\vec{y})
f^{abc} \zeta^c (\vec{x},t)\;,\\
\notag
& [\zeta^a(\vec{x},t),\, H] = 0\;.
\end{align}

\item ({\it Копии Грибова}) Показать, что условия 
\begin{equation}
\label{eq:1}
A_0 = 0\;, \qquad \partial_i A_i = 0
\end{equation}
не полностью фиксируют калибровочную свободу среди статических
конфигураций в теории Янга-Миллса с калибровочной группой $SU(2)$. 
\begin{enumerate}
  \item Предъявить нетривиальную конфигурацию $A_i^{\omega}(\vec{x})$, которая
    калибровочно эквивалентна вакууму и удовлетворяет (\ref{eq:1}). 
  \item Показать, что существуют нетривиальные решения уравнения
    $\hat{M}^{ab} f^b = 0$\;.
  \item Найти связь между калибровочным преобразованием $\omega$
    из пункта (a) и нулевым вектором $f^a$ из пункта (b). 
 \end{enumerate}

\item Введем следующую параметризацию группы $SU(2)$:
\begin{equation}
\label{eq:2}
\omega = n_{\mu} \sigma^{\mu}\;, \qquad \sum_{\mu=0}^3 n_{\mu}^2 = 1\;,
\end{equation}
где $\sigma^{\mu}$ - стандартные
сигма-матрицы. Параметризация (\ref{eq:2}) позволяет представить
группу $SU(2)$ как сферу ${\cal S}^3$, вложенную в четырехмерное
евклидово пространство. 
\begin{enumerate}
\item Ввести меру интегрирования по группе $SU(2)$ как меру,
  индуцированную из объемлющего евклидова пространства.
\item Показать, что введенная мера совпадает с инвариантной мерой 
$$
d\omega = \mathrm{tr}(\omega^{-1} d\omega \wedge 
\omega^{-1} d\omega \wedge 
\omega^{-1} d\omega )
$$
с точностью до несущественного численного множителя. 
\end{enumerate}

\item Вычислить $\beta$ - функцию в теории $SU(N_c)$ с $N_f$ ароматами
  кварков. При каких $N_c$, $N_f$ теория асимптотически свободна?

\item Показать, что оптическая теорема выполнена в квантовой
  глюодинамике. Для этого вычислить явно мнимую часть какой-нибудь
  амплитуды рассеяния и соответствующее полное сечение в низшем
  неисчезающем порядке теории возмущений. Показать, что теория
  неунитарна, если не принимать в расчет духовые диаграммы. 

\item Проверить первое нетривиальное тождество Славнова-Тейлора в
  однопетлевом приближении для расходящихся частей при
  калибровочно-инвариантной регуляризации КХД.
\end{enumerate}
\end{document}
