\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\centerline{\bf\large Задачи-3} 
\centerline{\it Квантовая теория поля - 5 курс, 1 семестр.}
\vskip 0.5cm

Для получения зачета/экзамена требуется решить 14 задач или более.
\vskip 1cm

\begin{enumerate}
\item Показать, что связи $\phi_a$, которые остаются после
  решения системы уравнений на множители Лагранжа $u_m$, являются
  величинами I рода. Показать, что гамильтониан является величиной I
  рода.
\item Показать, что при выводе скобки Пуассона генераторов двух малых
  калибровочных преобразований с параметрами $\epsilon_a$ и $\delta_a$
  можно опустить члены, пропорциональные $\epsilon_a \epsilon_b$ и
  $\delta_a \delta_b$.
\item Проквантовать канонически электромагнитное поле.
\item {\it Квантовая космология.} Рассмотрим однородную изотропную
  замкнутую Вселенную,
  \begin{equation}
    \label{eq:1}
    g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(a^2 N^2, \, -a^2 \gamma_{ij})\;,
  \end{equation}
  где $a(t)$ - радиус Вселенной, $N(t)$ - функция временного сдвига,
  $\gamma_{ij}$ - метрика единичной трехмерной сферы.
  Подставим метрику (\ref{eq:1}) в действие Гильберта-Эйнштейна с
  космологической постоянной $\Lambda$. Получим:
  \begin{equation}
    \label{eq:2}
    S_{EH} = \int d\eta \left(-\frac{\dot{a}^2}{2N} + N\left[
        \frac{a^2}{2} - \Lambda a^4\right]\right)\;,
  \end{equation}
  где использованы безразмерные планковские единицы. Действие
  (\ref{eq:2}) инвариантно относительно калибровочных преобразований:
  \begin{equation}
    \label{eq:3}
    t\to t'(t)\;, \qquad N \to N'(t') = \frac{dt}{dt'} N(t) \;, \qquad
    a\to a'(t') = a(t)\;.
  \end{equation}
  \begin{enumerate}
    \item Построить гамильтонов формализм. Найти гамильтониан и связи
      I рода. 
    \item Проквантовать, наложив связи на волновую функцию. Показать,
      что волновая функция Вселенной подчиняется уравнению Уилера - Де
      Витта,
      \begin{equation}
        \label{eq:4}
        {\cal H} \Psi = 0\;,
      \end{equation}
      где ${\cal H}$ -- гамильтониан Вселенной, $\Psi(a)$ -- ее
      волновая функция. 
      \item Выписать функциональный интеграл.
      \item Найти квазиклассические решения уравнений Уилера - Де
        Витта. Показать, что эволюция классической Вселенной
        описывается уравнением Фридмана.  
  \end{enumerate}
  \item Рассмотрим частицу на двумерной сфере:
    $$
    S = \int dt \left( \dot{\mathbf{x}}^2/2 + \lambda (\mathbf{x}^2-1)
      \right)\;, 
    $$
    где $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$, $\lambda$ - множитель
    Лагранжа. 
    \begin{enumerate}
      \item Выписать лагранжевы и гамильтоновы уравнения движения.
      \item Проквантовать.
    \end{enumerate}
    \item Проквантовать канонически поле Дирака.
\end{enumerate}
\end{document}
