\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\centerline{\bf\large Задачи-2} 
\centerline{\it Квантовая теория поля - 5 курс, 1 семестр.}
\vskip 0.5cm

Для получения зачета требуется решить более 70\% задач, заданных на
протяжении семестра.
\vskip 1cm

\begin{enumerate}
\item Рассмотрим действительное скалярное поле на
  пространственно-временной решетке размера $L$
  и шагом $\epsilon$ (рассматривалось на лекции):
  $\phi\left(x_{i}\right)$, где индексы $i   =
  \left(i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}\right)$ пробегают целые точки внутри
  четырехмерного куба объема $V = L^{4}$. Показать, что преобразование 
  от переменных $\phi\left(x_{i}\right)$ к переменным $\phi_{n}\equiv
  \phi\left(k_{n}\right),\;\; k_{n}^{0} \ge 0$ (где $k_{n}^{\mu} =
  \frac{2\pi n^{\mu}}{L},\; |n|<\frac{L}{\epsilon}$) посредством 
\[
\phi\left(x_{i}\right) = \frac{1}{V}\sum_{n}{\rm
  e}^{-ik_{n}x_{i}}\phi_{n}
\]
  является унитарным преобразованием. Показать, что мера
  интегрирования в функциональном интеграле, определенном как
  решеточный предел к непрерывному пространству
  ($L\to\infty,\;\epsilon\to 0$), может быть выражена следующим
  образом
\[
{\mathcal D}\phi\left(x\right) \equiv \prod_{n} d\phi\left(x_{i}\right) =
{\mathcal A} \prod_{k_{n}^{0} \ge 0} d{\rm Re}\phi_{n}\cdot d{\rm Im}\phi_{n},
\]
где константа ${\mathcal A}$ не зависит от полевых переменных $\phi$.

\item В теории с лагранжианом
\[
{\mathcal L} = \frac{1}{2}\left(\partial_{\mu}\phi\right)^{2} -
\frac{m^{2}}{2}\phi^{2} - \frac{\lambda}{4!}\phi^{4}
\]
используя метод производящего функционала $Z[J]$, вычислить
четырехточечную функцию Грина в порядке $\lambda^{2}$ теории
возмущений. Убедиться, что стандартная теория возмущений для функций
Грина воспроизводится этим вычислением.

\item Рассмотрим функцию Грина
\[
\langle 0|\phi(x)|0\rangle = Z^{-1}\int {\mathcal D}\phi\;
\phi(x)\; {\rm e}^{i\int d^{4}x {\mathcal L}}
\]
($Z$ --- нормировочный множитель). Сделать замену переменных в
функциональном интеграле
\[
\phi(x) \to \phi^{\prime}(x) = \phi(x) + \epsilon(x),
\]
где $\epsilon$ мало. 
Используя инвариантность функционального интеграла относительно этой
замены, получить уравнение на двухточечную функцию Грина.
\item В теории 
\[
{\mathcal L} = \frac{1}{2}\left(\partial_{\mu}\phi\right)^{2} -
\frac{m^{2}}{2}\phi^{2} -\frac{g}{3!}\phi^{3} - \frac{\lambda}{4!}\phi^{4},
\]
в порядке $g^{2},\;\lambda^{2},\;g\lambda^{2}$ теории возмущений
показать явным вычислением, что производящий функционал для
функций Грина $Z[j]$ связан с производящим функционалом для связных
функций Грина $W[j]$ соотношением 
\[
Z[j] = {\rm e}^{iW[j]}.
\]

\end{enumerate}
\end{document}
