\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\centerline{\bf\large Задачи-1} 
\centerline{\it Квантовая теория поля - 5 курс, 1 семестр.}
\vskip 0.5cm

Для получения зачета требуестся решить более 70\% задач, заданных на
протяжении семестра.
\vskip 1cm

\begin{enumerate}
\item Рассморим квантовомеханическую систему с лагранжианом 
$$
L = f(\dot{\mathbf{q}}) - V(\mathbf{q})\;, \qquad \mathbf{q} \in
\mathbb{R}\;.
$$
\begin{enumerate}
\item Проквантовать, найти гамильтониан.
\item Выписать функциональный интеграл для пропагатора.
\item Верна ли формула
$$
U(\mathbf{q}_f,\mathbf{q}_i;\, t_f - t_i) = \int \mathcal{D}
{\mathbf{q}}(t) \; e^{i S [{\mathbf{q}}(t)]}\qquad \mbox{?}
$$
\end{enumerate}
\item Рассмотрим одномерный квантовый осциллятор. 
$$
\hat{H} = \frac12 \hat{p}^2 + \frac{\omega^2}{2} \hat{q}^2\;.
$$
\begin{enumerate}
\item Записать и вычислить евклидов функциональный интеграл для
  величины 
$$
U_E(x_f,x_i;\, T) = \langle x_f | e^{-\hat{H} T} | x_i \rangle\;.
$$
\item Рассмотрев предел $T\to \infty$ от $U_E$, найти основное
  состояние осциллятора и его энергию.
\end{enumerate}
\item Вывести граничные условия Фейнмана для функционального интеграла
  по переменным $p(t)$, $q(t)$:
$$
I_0 = \langle 0 | e^{-i\hat{H}(t_f - t_i)}| 0\rangle = \int \mathcal{
  D} p(t) \, \mathcal{D} q(t) \Bigg|_{p_i - i\omega x_i = 0}^{p_f +
  i\omega x_f = 0} e^{iS[p(t),q(t)]}\;.
$$
\item Посчитать методом функионального интеграла 2-х, 3-х и 4-х ---
  точечные причинные корреляционные функции координат свободного
  осциллятора.  
\end{enumerate}
\end{document}
