\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\textwidth 13cm
\usepackage[koi8-r]{inputenc}  
\usepackage[russian]{babel} 
\usepackage{mathtext,amsmath,amssymb}      
%\textwidth 16cm
\begin{document}

\begin{center}
{\bf Задачи к экзамену/зачёту} \\
Там, где это возможно, ответ требуется довести ``до числа''.

\end{center}

\vspace{1cm}

%{\bf Задача 1.}\\
%Придумать модели инфляции
%
%1a) в которых спектральный индекс скалярных возмущений\\ превышает 1;
%
%1b) в которых амплитуда гравитационных волн пренебрежимо мала, а
%амплитуда скалярных возмущений соответствует наблюдениям;



%{\bf Задача 2.}\\
%Пусть первичный спектр флуктуаций плотности --- плоский. Пусть, далее,
%флуктуации масштаба 3 Мпк 
%становятся нелинейными при $z=5$. Флуктуации каких масштабов находятся
%в нелинейном режиме сегодня, а каких масштабов --- в линейном?
%Считать $\Omega_{CDM}=0.25$, $\Omega_B=0.05$, $\Omega_\Lambda = 0.75$,
%$h=0.7$.

{\bf Задача 1.
Степенная инфляция.}\\
1) Показать, что расширение пространственно-плоской Вселенной по
закону
\begin{equation}
\label{3*}
a=a_0t^\alpha,\;\alpha>1
\end{equation}
позволяет решить проблемы горизонта, плоскостности и др.,
т. е. является инфляционным расширением. Предполагая, что такое
расширение обусловлено скалярным полем $\phi$ и предполагая режим
медленного скатывания скалярного поля на этой стадии, найти скалярный
потенциал модели. При каких $\alpha$ и/или $\phi$ режим медленного
скатывания действительно имеет место? Найти скалярный потенциал также
в случае, когда приближение медленного скатывания \underline{не}
работает.

2) В ситуации, когда приближение медленного скатывания работает, найти
спектр первичных флуктуаций плотности. Отличается ли он от плоского? Указание:
считать, что режим (\ref{3*}) сменяется обычным режимом радиационного
доминирования при некотором $\phi_0$.



{\bf Задача 2.}\\
Измеряя спектр флуктуаций плотности и спектр реликтовых гравитационных
волн, можно ли восстановить скалярный потенциал $V(\phi)$ в
инфляционной теории с одним скалярным полем (предполагется, что
выполнены условия медленного скатывания)? Оценить интервал значений
$\phi$, где  это можно сделать, если ограничиться сегодняшними длинами волн
больше 100 кпк (размер областей, из которых образуются карликовые галактики).
Предполагать, что
остальные параметры Вселенной ($\Omega_{CDM}$, $\Omega_B$, 
$\Omega_\Lambda$ $H_0$, и т. д.) известны, в
частности $\Omega_{tot}=1$.

%{\bf Задача 5.}
%Рассмотрим массивное 
%квантовое скалярное поле $\hat{\Phi}(x^\mu)$ с действием
%\[
%   S_\Phi = \int~d^4x~\sqrt{-g}~\left( \frac{1}{2} 
%g^{\mu \nu} \partial_\mu \hat{\Phi} \partial_\nu \hat{\Phi} -
%\frac{m^2}{2} \hat{\Phi}^2 \right)
%\]
%Пусть это поле помещено во Вселенную, расширяющуюся с постоянным 
%значением $H$ параметра Хаббла (Вселенную де~Ситтера). Будем считать,
%что $H \gg m$. Найти среднее значение оператора $\hat{\Phi}^2 (x)$.
%При каких условиях обратным влиянием поля $\hat{\Phi}$ на расширение 
%Вселенной действительно можно пренебречь?

%{\bf Задача 6. Вечная инфляция}
%Пусть $\hat{\Phi}(x^\mu)$ -- квантовое поле инфлатона. 
%Вблизи некоторого момента
%времени $t$ разложим, как обычно, это поле 
%на классическую часть $\varphi (t)$,
%подчиняющуюся классическим уравнениям движения, 
%и квантовую часть $\hat{\phi}(x^\mu)$,
%\[
%   \hat{\Phi}(x^\mu)=\varphi (t)+ \hat{\phi}(x^\mu)
%\]
%При каких условиях среднее значение оператора $\hat{\Phi}^2(x^\mu)$
%в момент времени $t+dt$ останется таким же, как было в момент $t$?
%Дать интерпретацию такому результату.%

%Рассмотреть инфлатон с потенциалом
%\[
% V(\Phi) = V_0 + \frac{m^2}{2} \Phi^2
%\]
%При каких условиях на параметры потенциала описанный выше режим ``вечной
%инфляции'' действительно может реализоваться в режиме медленного скатывания
%и вдали от планковской области энергий (последнее означает, что $V \ll M_{Pl}^4$)?

{\bf Задача 3.}

Будем считать, что для возникновения жизни необходимо образование хотя бы
карликовых галактик, в которые вещество собирается с 
расстояния порядка 100~кпк. Известно, что такие галактики
образуются при $z \lesssim 10$. Известно также, что на стадии доминирования
тёмной энергии возмущения плотности материи не растут.
Будем считать тёмную энергию не зависящей от времени, 
$\rho_{DE}=\rho_{vac} = \mbox{const}$ (космологическая постоянная).
Найти, в гипотетических Вселенных с какими значениями
космологической постоянной $\rho_{vac}$
жизнь действительно возникла бы, а с какими -- нет. 
Вселенные считать пространственно-плоскими.
Космологические параметры, не зависящие от $\rho_{vac}$ (включая  спектр
первичных возмущений плотности), считать такими же, как в нашей Вселенной.
Рассмотреть как случай $\rho_{vac}>0$ (как в нашей Вселенной), так и
случай $\rho_{vac} < 0$. 

%\newpage
{\bf Задача 4.}\\
Пусть первичный спектр флуктуаций плотности --- плоский. Пусть, далее,
флуктуации масштаба 3 Мпк 
становятся нелинейными при $z=5$. Флуктуации каких масштабов находятся
в нелинейном режиме сегодня, а каких масштабов --- в линейном?
Считать $\Omega_{CDM}=0.25$, $\Omega_B=0.05$, $\Omega_\Lambda = 0.75$,
$h=0.7$.


{\bf Задача 5. Квинтэссенция}

Предположим, что космологическая постоянная в 
точности равна нулю, а современное
ускоренное расширение Вселенной обусловлено скалярным полем $\phi$
(его называют
``квинтэссенцией'') со степенным
потенциалом. В моделях с потенциалами 
\[
   V(\phi) = \frac{m^2}{2} \phi^2
\]
и 
\[
  V(\phi) = \frac{\lambda}{4} \phi^4
\]
найти ограничения на параметры $m$ и $\lambda$, следующие из космологических
данных. 

{\bf Задача 6.}

Рассмотрим теорию инфляции с потенциалом инфлатона $\lambda \phi^4$ и
дополнительным членом в действии
\[
\xi \int~d^4 x~\sqrt{(-g)}R\phi^2,
\]
где $\xi$ --- действительный параметр. Считать, что $\xi\gg 1$.

1) При каких значениях $\phi$ происходит инфляция с медленным скатыванием?

2) Найти наклон спектра возмущений инфлатона $\delta \phi$ для мод за горизонтом.

3)Найти наклон спектра тензорных возмущений.





%Получить оценку для положения пиков в угловом спектре анизотропии
%реликтового излучения в гипотетической Вселенной без тёмной материи
%и без тёмной энергии,
%который измерил бы наблюдатель в эпоху, соответствующую температуре
%реликтового излучения $T_0 = 2.7$~K. Считать Вселенную пространственно
%плоской, а отношение $\eta_B = n_B/n_\gamma$ таким же, как в реальной 
%Вселенной.

{\bf Задача 7. Коллапс в ньютоновой теории.}

Рассмотрим Вселенную, заполненную нерелятивистским веществом, в рамках
ньютоновой теории. Напомним, что однородное решение имеет структуру
\[
\bar \rho=\bar \rho (t)\;, ~~~\bar {\bf V}={\bf x}\cdot H(t)\;,~~~
\bar \phi= f(t){\bf x}^2.
\]
Пусть в ``начальный момент'' $t=t_0$ в сферической области размера $r_0$
имеется малое однородное превышение плотности над фоном:
\[
\delta \rho (t_0)=\left\{  \delta \rho_0, |{\bf x}|<r_0, \atop        
                        0, |{\bf x}|>r_0,
\right.
\]
где $\delta \rho_0\ll \bar \rho(t_0)$ и $\delta \rho_0$ 
не зависит от ${\bf x}$. Найти, при каком времени $t_c$ расширение
сферы повышенной плотности прекратится и сменится коллапсом. Найти
отношение $\rho ({\bf x}=0)/\bar\rho$ 
(отношение плотности в центре сферы к средней плотности)
в этот момент времени.


% Задача ???
%Зависят ли положения  пиков в угловом спектре анизотропии
%реликтового излучения от числа типов нейтрино? Если да,
%то каким образом? Сделать в этом случае оценку того, насколько
%сдвигаются пики при изменении числа типов нейтрино на единицу.
%Нейтрино считать безмассовыми и взаимодействующими с веществом так
%же, как известные нейтрино.

{\bf Задача 8.}

Показать, что в теории с гравитационным действием
\begin{equation}
S = -\frac{1}{16\pi G} \int~d^4 x~\sqrt{(-g)}\left( R + \alpha R^2 \right)
\label{inrR}
\end{equation}
при правильном выборе знака параметра $\alpha$ реализуется инфляционный
режим расширения Вселенной. Каков потенциал теории со скалярным инфлатонным
полем, но без
члена $R^2$, в которой инфляция происходит точно так же, как в теории с
действием \eqref{inrR}?

{\bf Задача 9.}

Найти зависимость от времени относительных возмущений плотности 
холодной тёмной материи $\delta_{CDM}$ для мод под горизонтом
во Вселенной,
где доминирует гипотетическое вещество с уравнением состояния
$p=w\rho$. Рассмотреть случаи $w>1/3$ и $w<1/3$. Считать, что давление 
самой тёмной материи равно нулю; гравитационными потенциалами,
генерируемыми гипотетическим веществом, пренебречь.

{\bf Задача 10.}

Пусть при $t<t_*$, где $t_*<0$, пространственно-плоская
Вселенная сжималась по закону
\[
a(t)=|t|^\alpha, 0<\alpha<\frac{1}{3},
\]
а при $t=t_*$ сжатие сменилось расширением. Будем считать,
что сразу после момента $t_*$ наступила известная горячая стадия,
а температура в это время была равна $T_*$. Найти спектр первичных
тензорных возмущений (включая его амплитуду) в такой теории, считая, что
при $t\to-\infty$ гравитационных волн во Вселенной не было.



{\bf Задача 11.}

Пусть эволюция Вселенной происходит по закону
\[
a(t)=\left\{ a_0=const,\; -\infty<t<t_*,\atop
              a_0(t/t_*)^\frac{1}{2},\; t>t_*,
\right.
\]
причем при $t=t_*$ наступает известная горячая стадия с начальной температурой 
$T(t_*)=T_*$. Найти спектр первичных тензорных возмущений (включая его амплитуду),
считая, что при $t\to-\infty$ гравитационных волн во Вселенной не было.



{\bf Задача 12.}

Пусть помимо инфлатона в теории имеется скалярное поле $\phi$ с потенциалом
\[
V(\phi)=\mu^4[\exp{(\phi^2/\phi_0^2)}-1],
\]
где $\mu$ и $\phi_0$ --- параметры размерности массы. 
Пусть параметр Хаббла на инфляционной стадии постоянен во 
времени и равен $H$, при этом $H\gg\mu$, $H\ll\phi_0$.
Оценить типичное максимальное значение поля $\phi$
в областях хаббловского размера на инфляционной стадии,
считая, чтополе $\phi$ вносит малый вклад в плотность
энергии по сравнению с вкладом инфлатона. Верно ли на самом деле
последнее предположение о малости вклада поля $\phi$?


{\bf Задача 13.}

Пусть параметр Хаббла $H$ меняется со временем следующим образом
\[
H(t)=\left\{ 0, \; t<0, \atop
             H_0=const, \; t>0.
\right.
\]
Пусть во Вселенной имеется скалярное поле $\phi$ массы $m$,
минимально связанное с гравитацией, при этом $m\ll H_0$.
Найти вклад мод за горизонтом в флуктуацию поля $<\phi^2({\bf x})>$
как функцию времени при $t \gg m^{-1}$.



\end{document}


