\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
\centerline{\bf ЗАДАЧИ-3}
\vskip 0.5cm
\centerline{\bf I. Двухпетлевые диаграммы.}
Вычислить бесконечные части диаграмм. 
Найти переномировку параметров лагранжиана.
\begin{enumerate}
\item Безмассовая теория $\phi^4$, $D=4$.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{dia1.ps}
\end{center}
[Правильный ответ см. Пескин, Шредер, задача 10.3.]
\item Безмассовая теория $\phi^3$ в $D=6$.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{dia2.ps}
\end{center}
[Решение см. Коллинз, параграф 5.2.]
\item Безмассовая теория $\phi^3$ в $D=6$.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{dia3.ps}
\end{center}
[Ответ см. Коллинз, параграф 5.2.3.]
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm
\centerline{\bf II. Оптическая теорема.}
\begin{enumerate}
\item В низшем порядке по $e^2$ и во {\it всех} порядках по 
сильному взаимодействию найти связь между вкладом адронов в
  поляризационный оператор фотона и сечением аннигиляции $e^+e^- \to
  \mbox{адроны}$.
\item Рассматривая четырехточечную функцию Грина в теории $\lambda
  \phi^4$ в порядке  $\lambda^2$ и применяя оптическую теорему, найти
  сечение рассеяния $2\to 2$ в порядке $\lambda^2$. Сравнить с
  вычислением на основе амплитуды в порядке $\lambda$.
\item Вычислить мюонный вклад в поляризационный оператор фотона.
\item Рассмотрим скалярную электродинамику (КЭД с добавлением
  дополнительного комплексного скаляра $\phi$). Используя оптическую
  теорему, найти связь между полным сечением рассеяния $\phi\phi^*\to
  \phi\phi^*$  и мнимой частью поляризационного оператора
  фотона. Проверить явным вычислением, что эта связь выполняется. 
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm
\centerline{\bf III. Тождество Уорда.}
\begin{enumerate}
\item Пусть фермионы КЭД взаимодействуют с
  дополнительным скалярным полем $\phi$,
$$
{\cal L}_{\mathrm{int}} = -\frac{\lambda}{\sqrt{2}} \phi \bar{\psi} \psi\;.
$$
Нарушается ли тождество Уорда $Z_1 = Z_2$? Продемонстрировать явным
вычислением однопетлевых диаграмм.
\item Записать полную амплитуду процесса $e^+e^- \to e^+ e^-$ в КЭД в
  порядке $e^4$  в $\alpha$ -- калибровке. Показать, что она не
  зависит от параметра $\alpha$.  
\item Получите тождество Уорда, которому удовлетворяет вершинная
  функция взаимодействия электромагнитного и заряженного скалярного
  полей. Какова в этом случае связь между перенормировками параметров
  лагранжиана? Продемонстрировать эту связь явным вычислением однопетлевых
  диаграмм. 
\end{enumerate}
\end{document}
