\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}

\begin{document}
\centerline{\bf ЗАДАЧИ}
\vskip 0.5cm
\centerline{\bf I. Электродинамика с нарушением лептонного числа.}
Рассмотрим электродинамику с двумя дираковскими полями материи, $\psi_1$ и
$\psi_2$. Массы полей равны $m_1$ и $m_2$, электрические заряды  -
$e_1$ и $e_2$. Добавим к стандартному лагранжиану электродинамики член
смешивания, 
$$
\Delta {\cal L} = \epsilon \bar{\psi}_1\psi_2 + \mathrm{h.c.}\;.
$$
Физическими полями теории являются линейные комбинации полей $\psi_1$
и $\psi_2$, диагонализующие массовую матрицу. Назовем их электроном и
мюоном.  

Для всех приведенных ниже процессов: найти дифференциальное сечение в
низшем порядке теории возмущений по $e_1$, $e_2$. Вычислить полное
сечение. Выразить дифференциальное и полное сечения через переменные
Мандельcтама. Вычислить фазовый объем. Рассмотреть случай $e_1$ =
$e_2$ = $e$. Сравнить со стандартным электродинамическим ответом. 
\begin{enumerate}
\item $e^+ e^- \to \mu^+ \mu^-$
\item $\mu^+ e^- \to \mu^+ e^-$
\item $e^+ e^- \to e^+ e^-$
\item $e^+ e^- \to \mu^+ e^-$
\item $e^+ e^+ \to e^+ e^+$
\item $e^+ \gamma \to e^+\gamma$
\item $\mu^+ \gamma \to e^+ \gamma$
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm
\centerline{\bf II. Асимметрия в комптоновском рассеянии}
Найти асмметрию вперед - назад в комптоновском рассеянии
неполяризованных электронов и неполяризованных фотонов в системе
центра масс,
$$
\frac{\sigma(\mbox{вперед}) - \sigma(\mbox{назад})}{\sigma(\mbox{полное})}\;.
$$

\vskip 0.5cm
\centerline{\bf III. Поляризационный оператор фотона}
\begin{enumerate}
\item Вычислить поляризационный оператор фотона в $\alpha$ -
  калибровке, исползуя размерную регуляризацию и регуляризауию Паули -
  Вилларса. Выполняется ли тождество Уорда для соответствующей
  амплитуды? 
\item Вычислить мюонный вклад в поляризационный оператор фотона,
  используя оптическую теорему.
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm 
\centerline{\bf IV. Массивная электродинамика}
Добавим к лагранжиану электродинамики следующий член:
$$
\delta {\cal L} = \frac12 m^2 A_\mu^2\;.
$$
Вычислить сечение процесса $e^+e^- \to \mu^+ \mu^-$. 
[Следует, как и в задаче про нарушение лептонного числа, вычислить
  дифференциальное и полное сечения, выразить их через переменные
  Мандельсштама, а также посчитать фазовый объем.] Как изменилось
поведение полного сечения при $s\to +\infty$? Нарушается ли унитарный
предел Фруассара, $\sigma_{total} \leq \mathrm{const}\cdot \ln^2 s$?

\vskip 0.5cm 
\centerline{\bf V. Тождество Уорда}
Проверить явным вычислением тождество Уорда для амплитуды
процесса $e^+ e^-\gamma \to \gamma \gamma$. 

\vskip 0.5cm
\centerline{\bf VI. Распад мюона}
Вычислить время жизни мюона в теории Ферми в низшем порядке теории
возмущений. Чему равен фазовыйобъем?
\end{document}
